Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

2

b(u)

f (t) sin utdt, a(u) 0;

(14.17)

0

f (x) b(u) sin uxdu.

(14.18)

0

14.6.2. Інтеграл

Фур'є у комплексній формі

Нехай функція

f x має на кожному скінченному інтервалі

1

f (x)

F (u)eiux du,

(14.19)

2

де

F (u)

f (t)e iut dt.

(14.20)

1

f (x)

du f (t)eiu(x t)dt.

(14.21)

2

Функцію F u називають перетворенням Фур'є функції

f x , або

спектральною щільністю.

x

, x 0

Приклад. Зобразити інтегралом Фур'є функцію

e

f (x)

0,

x 0.

Розв’язання. Функція e x 1 при x 0 , тобто є обмеженою; крім того,

f (x)

dx e x dx e x

1.

0

0

1

1

f (x)

du

f (t) cosu(t x)dt

du e t cosu(t x)dt

0

0

0

0

0

Обчислимо інтеграл:

u e t du e t dt

1

e t

cosu(x t)dt

dv cosu(x t)dt

e t sin u(x t)

0

1

u

0

v

sin u(x t)

u

1

1

1

e t sin u(x t)dt

sin ux

e t sin u(x t)dt

u

0

u

u

0

u e t du e t dt

sin ux

e t

1

dv sin u(x t)dt

cosu(x t)

e t cosu(x t)dt ;

0

u 2

1

u

u 2

v

cosu(x t)

0

u

1 u 2

sin ux

cosux

e t cosu(x t)dt

;

u

2

u

u

2

0

u sin ux cosux

e t cosu(x t)dt

.

1 u

2

0

Отже,

f (x)

1

u sin ux cosux

du .

(14.22)

1 u 2

0

Вважаючи, наприклад, x 0 , знайдемо:

1

du

1

1

1

arctgu

0

2

,

1 u2

2

0

односторонніх границь

e0 0

1

.

2

2

1

1

u sin u cosu

1

При x 1: оскільки e 1

,

du

.

e

1 u 2

e

0

x,

x

l

Приклад. Зобразити

інтегралом Фур'є

функцію

f (x)

x

l

0,

(графік функції наведено на рис. 14.13).

Розв’язання. Функція

f x

обмежена

й абсолютно інтегровна;

2

2

l

b(u)

f (t)sin utdt

t sin utdt .

0

0

Y

f(x)

l

X

-l

l

-l

Рис. 14.13

Інтегруючи частинами, маємо u

t, du

dt, dv

sin utdt, v

cosut

,

1

1

1

1

u

що дає

2

cosut

l

1

l

2

l

sin ul

l

b(u)

cosul

t

cosutdt

u

0

u

u

u

2

0

0

2

l cosul

sin ul

.

u

u 2

Випливає: f (x)

2

ul cosul sin ul sin uxdu .

u

2

0

Приклад. Зобразити інтегралом Фур'є в комплексній формі функцію

1,

x

l ,

f ( x )

x

l.

0,

Розв’язання. За формулою (14.21), обчислюючи спочатку

внутрішній інтеграл, знаходимо:

l

1

l

1

eiu(x l) eiu(x l)

eiux

eiul

e iul

eiu(x t)dt

eiu(x t)

l

iu

l

iu

u

i

eiux

2sin ul ;

u

таким чином, f x

1

sin ul

eiux du .

u

4n n!

.

nn

n 1

4n 1 n 1 !

n 1 n 1

4n 1

n 1 ! nn

n

lim

lim

lim

4lim

4n n!

n 1 n 1 4n n!

n

n

n

n

nn

n 1

n

4

lim

4lim

4e

1.

n

Отже, ряд

1 – збігається; 2 – розбігається.

Приклад 14.2. Дослідити ряд на збіжність

n 1

arctg

.

n3 1

3 / 2

n 1

Розв'язання. Для дослідження збіжності ряду скористаємося ознакою

.

Загальний член ряду

a arctg

~

n 1

~

n

1

.

n

n

n n

n

3

1

n

1

Ряд

є узагальненим гармонічним і

p 1, отже, цей ряд

1 –

n

i 1

збігається; 2 – розбігається. І за ознакою

вихідний ряд також

1 –

збігається; 2 – розбігається.

n 1

n2

.

2n 5

n 1

Отже, за ознакою

ряд

1 – збігається; 2 – розбігається.