Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

u xdu dx

dv sin kxdx

2

x

coskx

1

coskxdx

k

k

k

0

v

coskx

0

k

2

k

1

2

1

k

sin kx

1 .

k

k

k 2

k 2

0

1

1 k 1

2

3 1 k 1

k

Випливає: ak

k

2

k

2

1

k

2

.

Аналогічно:

2 ( 1)k 1

1

0

1

b

f (x)sin kxdx

1

x sin kxdx

x2 sin kxdx

,

k

2k 3

0

0,

якщо k парне

тобто

bk

4

,

якщо k непарне.

2k 3

Отже, розвинення функції в ряд Фур'є має вигляд

5

3( 1)

k

1

4

f (x)

coskx

sin(2k

1)x .

12

k

2

2

(2k 1)

2

k 1

0 a

b

X

Побудуємо періодичну функцію

F x із періодом

T b a , що

збігається

з f x на

відрізку a,b . Геометрично для

цього потрібно

виконати

перенесення

графіка функції

f x уздовж осі

OX праворуч і

періодичним продовженням функції

f x за межі відрізка a x a T b

з періодом T b a , l

b a

.

2

теореми Діріхле, то і F x їх теж

Якщо f x задовольняє умови

задовольняє і, отже, може бути подана у вигляді ряду Фур'є. Через збіг

f x

та

F

x

на

a,b

отриманий ряд і буде рядом Фур'є неперіодичної

функції

f x ,

x a,b .

У точках неперервності функції F x маємо:

ak

1

l F (x) cos

k x

dx

1 b

f (x) cos

k x

dx,

l

l

l

l

l

a

b =

1

b

f (x)sin

kπx

dx

k = 1, 2, ,

l =

b - a

,

k

l т

l

(

)

2

a

a0

k x

k x

f (x)

a

k

cos

b

sin

.

a,b

2

l

k

l

f a f b

k 1

кінцях інтервалу a,b періодично

При

цьому,

якщо

, на

продовжена функція F x розривів не має (рис. 14.6).

У

точках

розриву

f x

усередині

інтервалу a,b і на кінцях

інтервалу (якщо

f a f b ) сума ряду дорівнює півсумі односторонніх

границь функції

f x , тобто

k x

k x

0) f (x 0)

a0

a

k

cos

b

sin

f (x

; при x (a,b) ;

2

l

k

l

2

k 1

k x

k x

0) f (b 0)

a0

a

k

cos

b

sin

f (a

; при x a; x b ,

2

l

k

l

2

k 1

b a

l

.

2

Y

у = F(x)

0

a

b

X

Рис. 14.6

Якщо f a f b , на кінцях інтервалу

a,b маємо розриви 1-го

Рис. 14.7

Вважаючи також у точках розриву

f x значення функції рівним

середньому

арифметичному

граничних

значень

1 f (x 0) f (x 0) ,

функція F x – це

2

одержуємо,

що періодична

сума ряду Фур'є, яка

збігається з

f x на a,b . Графік суми ряду Фур'є є сукупністю кривих та

Y

y = F(x)

9

-3 -1 0 1 3 5

X

Розв’язання. Період

T 2l 3 1 2, l 1;

у точках

розриву

x 2k 1, k 0,1, 2,...

сума тригонометричного

ряду

дорівнює

1

(12 32 ) 5 , що можна прийняти і як значення функції F x .

2

3

Знаходимо: ak f (x) cosk xdx

1

3

u x2 du 2xdx

x2 sin k x

3 3

sin k x

x2 cosk xdx

dv cosk xdx

2xdx

k

1

1

1

1

k

v

sin k x

k

u xdu dx

2x cosk x

3

2

3

2

dv sin k xdx

cosk xdx

(3cosk 3

(k)

2

(k)

2

(k)

2

v cosk x

1

1

k

cosk)

4( 1)k

, де sin 3k sin k 0;cosk cos3k ( 1)k ,

k 2 2

3

3

26

cosk xdx 0; a0

x2dx

.

1

1

3

3

( 1)k

bk

f (x)sin k xdx 8

.

1

k

( 1)k cosk

2

S(1)

13

4

13

4

13

2

5,

k 2 2

2

3

k 1

3

6

3 3

що

збігається

з

середнім

арифметичним

односторонніх границь:

1

2

x

2

1

(1 9)

5.

x

2

x 1

x 3

2