Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

1

1

r

2

...

2n 1

2n 3

n

2

(2n 1) 2

(2n 3)

2

1

1

1

...

2n 1

2

4

2

2n 1

2

(2n

1) 2

(2n 1)

2

1

1

2

1

2

1

...

.

22n 1

22

24

2n 1(2n 1) 1

1

3 22n 1(2n 1)

(2n

1)

2

4

Підберемо n таке, щоб залишок ряду rn 0,01. При n 2 маємо:

r

2

1

0,01.

2

3 23 5

60

При n 3: r3

2

1

0,01.

3 25 7

16 21

Випливає, достатньо обмежитися значенням n 3, що дає

1

1

1

1

1

ln 3 2

1

1 0,08333 0,0125

1,096 .

2

23 3

4 3

24 5

25 5

деякому околі x a , то розв’язок

цього

рівняння,

який задовольняє

початкові умови

y(a) y

0

, y (a) y

,..., y

(n 1) (a) y

(n 1)

,

0

0

Розв язок y 1 A

x2 A x3

... підставляємо в рівняння:

2

3

2A

2 3A x 3 4A x2 ... x A x3 A x4 ... 0 ,

2

3

4

2

3

звідки, порівнюючи коефіцієнти, одержимо:

2A2 0, A2 0;

2 3A 1, A

1

;

3 4A 0, A 0;

3

3

2 3

4

4

4 5A5 A2 , A5

0 ;

5 6A6

A3 , A6

1

.

3 5 6

2

Таким чином,

y 1

x3

x6

...

2 3

3 5

2

6

Знайдемо

розв’язок

рівняння

методом

послідовного

диференціювання. Запишемо розв язок рівняння у вигляді

y y(0)

y (0)

x

y (0)

x

2

y (0)

x

3

...

1!

2!

3!

За умовою

y(0) 1,

y (0) 0 .

Після

підстановки

в

рівняння x 0

знаходимо: y (0) 0 .

y y xy ,

y (0) 1;

y(4) 2 y xy , y(4) (0) 0 ;

y(5) 3y xy ,

y(5) (0) 0 ;

y(6) 4 y xy(4) , y(6) (0) 4 ,

будь-якому інтервалі довжини Т. За такий інтервал можна прийняти один

із двох інтервалів

0,T

або

T

2,T 2 . З геометричного змісту

визначеного інтеграла випливає,

що

для будь-якої періодичної функції

f x з періодом Т

Т

T

f (x)dx

f (x)dx ,

(14.3)

тобто інтеграли від

f x за будь-якими двома проміжками завдовжки Т є

однаковими для будь-яких значень

і (рис.

14.1). (Перевірити дане

твердження можна аналітично).

Y

y=f(x)

a

a+T

b

b+T

X

f x

Рис. 14.1

x f ax має період T a .

Якщо функція

має період Т, то

Справді,

x T

a f a x T a f ax T f ax x .

Наприклад, функції

y cosn x або

y sin n x є періодичними з

періодом

T

2

. Загальний період системи тригонометричних функцій

n

1, cos

x, sin x, cos

2

x, sin

2

x, , cos

n

x, sin

n

x,

(14.4)

l

l

l

l

l

l

a0

a

cos x

b sin x

a

2

cos

2x

b

sin

2x

+

2

1

l

1

l

l

2

l

n x

n x

a

k x

k x

b sin

0

b

a

cos

a

cos

sin

.

n

l

n

l

2

k

l

k

l

k 1

Сума n перших членів ряду подає часткову суму, тобто

S

n

(x)

a0

a

cos

x

b sin

x

a

n

cos

n x

b

sin

n x

.

2

1

l

1

l

l

n

l

S(x 2l)

lim

Sn (x 2l)

lim Sn (x) S(x) ,

n

n

тобто сума ряду S(x)

має

період 2 l .

Звідси випливає доцільність

Нормою функції (x)

на відрізку a,b

називається

квадратний

b

корінь із , , тобто

(x)

2 (x)dx .

a

Функція називається нормованою на a,b , якщо

1.

Функції 1(x)

і 2 (x)

називаються

ортогональними

на відрізку

b

a,b , якщо 1(x) 2 (x)dx 0 .

a

Скінченна

або

нескінченна

система

функцій

1(x),2 (x), , n (x), ,

що

інтегруються

на

відрізку

a,b

і не

b

1)

i (x) j (x)dx 0 ,

i j (i 1,2, ; j 1,2, ) ;

a

b

2) i2 (x)dx 0 .

a

b

Якщо,

крім того i2 (x)dx 1, (i 1,2, ) , то система називається

l

l

l

cos2

n x

dx l,

sin 2

n x

dx l,

12 dx 2l.

(14.5)

l

l

l

l

l

n x

n x

при цьому

cos

sin

l ,

1

2l .

l

l

a

k x

k x

f (x)

0

b sin

a

cos

(14.6)

2

k

l

k

l

k 1

на відрізку завдовжки 2l . Тоді, інтегруючи ряд почленно, знайдемо:

a0

1

l

f (x)dx.

(14.7)

l

l

cos

n x

,

sin

m x

не порушує його рівномірної збіжності, то, помножуючи

l

l

(14.6) почленно на cos

n x

(потім на sin

m x

) та інтегруючи на проміжку

l

l

ak

1

l

f (x) cos

k x

dx (k 0,1,2, );

l

l

l

(14.8)

l

b

1

f (x) sin

k x

dx (k 1,2, ).

l

k

l

l

a0 , ak , bk

(k 1,2, ) – коефіцієнтами Фур'є функції f x .

Те,

що ряд (14.6) на l,l є для функції f x її рядом Фур'є, ще не

Теорема Діріхлє (достатня ознака розвинення функції в ряд Фур'є).

Якщо функція f x має період 2 l

і на відрізку l,l неперервна або має

скінченне число точок розриву 1-го роду і відрізок l,l

можна розбити

на скінченне число відрізків так,

що усередині кожного

з них f x є

монотонною, то ряд Фур'є функції

f x збігається x , причому в точках

неперервності функції f x сума ряду дорівнює f x ,

а у точках розриву

функції f x його сума дорівнює

f (x 0) f (x 0)

,

тобто середньому

2

арифметичному граничних значень ліворуч і праворуч.

Крім того, ряд Фур'є функції f x збігається рівномірно на будь-

1. Нехай функція f x є парною на відрізку l,l , тоді

f (x) cos

k x

l

теж є парною; графік її симетричний щодо осі ординат, і тоді

ak

2 l

f (x) cos

k x

dx (k 0,1,2, ) .

l

l

0

Функція ж f (x) sin

k x

буде непарною і

l

b

1

l

f (x)sin

k x

dx 0.

l

k

l

2

l

f (x)

a0

a

k

cos

k x

на l,l , f x – парна,

(14.9)

k 1

ak

2

l

f (x) cos

k x

dx (k 0,1,2, ) .

l

l

0

f x є непарною,

2. Аналогічно, якщо функція

то вона може бути

розвинена в ряд по синусах:

f (x) bk sin

k x

на l,l , f x – непарна,

(14.10)

k 1

l

b

2 l

f (x) sin

k x

dx (k 1,2, ) .

l

k

l

0

Приклад. Розвинути

в

ряд

Фур'є періодичну

( T 2 )

функцію,

задану на проміжку ,

,

як

f

x

x .

того, внаслідок

непарності коефіцієнти

ak

0

( k 0,1, 2,...). Утворимо

тригонометричний ряд Фур'є, для чого обчислимо bk , вважаючи l :

2

u xdu dx

2

coskx

1

bk

x sin kxdx

dv sin kxdx

(x

coskxdx)

k

coskx

k

0

0

v

0

k

2

1

2

k 1

k cosk

sin kx

1

,

k 2

k

0

sin 2x

sin 3x

k 1

sin kx

sin x

1

.

(14.11)

x

2

;

1

2

3

k

Ця рівність правильна лише при x .

У

точках

x

сума ряду

за

теоремою

Діріхле

дорівнює

Y

n = 1

n = 2

0

X

-3

-

2 3

5

-

x

2sin x S1(x) ; при n 2 знаходимо: x

2sin x sin 2x S2 (x) ,

( ; )

( ; )

Приклад. Розвинути в ряд Фур'є функцію

y

cos x

.

Користуючись

1 k

1

цим розвиненням, обчислити суми рядів

і

.

2

2

1

k 1

4k

k 1

4k

1

Y

1

- /2

0

/2

X

Рис. 14.3

Розв’язання.

Задана функція парна,

має період

T , тоді

l

.

Функція неперервна на відрізку

2

2

;

і задовольняє умови теореми

2

Діріхле. Коефіцієнти bk 0 k 1, 2, ,