Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

При

x

1

ряд

збігається; при

x

1

одержимо

числовий

ряд

3

3

1

27n 1 n arctg

1 n 1 arctg

1

. За ознакою Лейбніца цей

n 1

27n

2n 3

n 1

2n 3

ряд

збігається.

При

x

1

числовий

ряд

arctg

1

розбігається,

3

n 1

2n 3

1

1

1

1

оскільки arctg

~

. Отже, область збіжності ряду:

;

.

2n 3 n 2n 3

3 3

xn

3. Знайти область збіжності ряду

.

1 x2n

n 1

Розв’язання. Загальний член ряду un

xn

;

un 1

xn 1

.

1 x2n

1 x2 n

1

За ознакою Даламбера

lim

un 1

lim

xn 1

1 x2n

lim

x x2n 1

.

un

1 x2n 2

xn

1 x2n 2

n

n

n

При

x

1

lim

x

2n 1

0

,

lim x

2n 2

0

.

Отже,

lim

un 1

x

1

un

n

n

n

x2n 2

1

1

2n 1

un 1

x

1

lim

lim

x

1, тобто ряд збігається.

u

x

n

n

n

x 2n 2

1

1

2n 2

x

a0 a1(x a) ... an (x a)n ... an (x a)n ,

(14.1)

n 0

ai const, a const . Зокрема, якщо a 0, то маємо ряд

a0 a1x ... an xn ... an xn .

(14.2)

n 0

Ряд (14.1) приводиться до ряду (14.2) заміною x a y .

Теорема Абеля. 1) Якщо степеневий ряд (14.2) збігається при

деякому значенні x x0 0 , то він збігається,

причому абсолютно, при

всіх значеннях x , що задовольняють умову

x

x0

.

x x1 ,

2) Якщо степеневий ряд розбігається при деякому значенні

то він розбігається і при всіх значеннях x , таких, що

x

x1

.

Звідси випливає існування інтервалу збіжності степеневого ряду

(R;R) . Іншими словами, ряд збігається при

x

R , розбігається при

x

R . У точках x R потрібне додаткове дослідження для кожного

конкретного ряду. Інтервал збіжності може вироджуватися в точку R 0

або співпадати з усією віссю Ох: R . Радіус збіжності степеневого ряду

знаходять за формулою R lim

an

, або

R

1

.

an 1

n

lim

n

an

Властивості степеневих рядів:

n

1. Степеневий ряд an xn

абсолютно і рівномірно збіжний на будь-

n 0

якому відрізку

; , який

цілком міститься в

інтервалі збіжності

R;R .

2. Сума

степеневого ряду an xn

неперервна всередині його

3. Степеневий ряд S x an xn

можна інтегрувати почленно в його

n 0

інтервалі збіжності R;R , причому радіус збіжності отриманого ряду

дорівнює R . Зокрема, для всіх x R;R справедлива формула

x

x

xn 1

S t dt

ant n

dt an

.

0

0

n 0

n 0

n 1

4. Степеневий ряд S x an xn

можна диференціювати почленно в

n 0

R;R , причому радіус

будь-якій точці x його інтервалу

збіжності

збіжності отриманого ряду

також

дорівнює R .

Для всіх

x R;R

справедлива формула

S x

nan xn 1 .

an xn

n 0

n 0

З властивостей 3 та 4 випливає, що ряд an xn

можна інтегрувати на

n 0

відрізку 0; x , x R;R і диференціювати в будь-якій точці

x R;R

(x 1)2n

1. Знайти область збіжності ряду

.

(n 2)3n

n 1

Розв’язання. Скористаємося ознакою Даламбера:

un 1(x)

(x 1)2(n 1)

(n 2)3n

(x 1)2

lim

lim

.

un (x)

(n 3)3n 1

(x 1)2n

3

n

n

(x 1)

2

При

1

ряд

збігається,

тобто

при

3 1 x 1 3

ряд

3

збігається.

Перевіримо

збіжність ряду

на кінцях

інтервалу

збіжності.

При

(

3)2n

1

.

x

3 1

маємо

ряд

Розбіжність

ряду

n 1

(n 2)3n

n 1 n 2

інтервал збіжності: x (

3 1;1

3) .

nx n

2. Знайти область збіжності ряду

.

n!

n 1

nn

, an 1

n 1 n 1

Розв’язання. Для цього ряду an

.

n!

n 1 !

Радіус збіжності ряду

R

lim

an

lim

nn

n 1 !

lim

1

1

,

n an 1

n n! n 1 n 1

n

1

n

e

1

n

при

x

1

ряд збігається. Досліджуємо збіжність ряду в точках x

1

.

e

1

nn 1 n

e

При

x

одержимо числовий ряд

.

e

n!en

n 1

n n

При великих

n за формулою Стірлінга n!

2 n . Розглянемо

e

nn 1 n

1 n

ряд

. За теоремою Лейбніца цей ряд збігається.

n

n

n

2n

n 1

2 ne

n 1

e

1

nn 1 n

При

x

числовий ряд

розбігається,

оскільки ряд

e

n!en

n 1

nn

1

1

1

1

розбігається:

0*

,

p

1.

n

2n

2n

n 1

n

n

n 1

n 1

n

n

2

2 ne

e

Отже, область збіжності:

1

;

1

.

e e

n2 1

3. Знайти область збіжності ряду

.

5n x 3 n