Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

.pdf

Скачиваний:

172

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

6.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

На практиці еталонами для порівняння виступають узагальнений

гармонічний ряд 1 , що збігається при

n 1 n p

а також ряд геометричної прогресії: aqn

n 1

Приклади. Дослідити збіжність рядів.

p 1 і розбігається при p 1,

збігається, якщо q 1,

розбігається, якщо q 1.

Ряд

розбігається,

оскільки ln n n,

та

ряд

ln n

n 2

n 1

розбігається ( p 1) .

2. Ряд

збігається за першою ознакою порівняння, тому що

3)(n

n 1

і ряд

збігається ( p 2 1) .

(n 3)(n 5)

n 1 n

n 2

Ряд

збігається, бо,

взявши a

, b

, за

3(n4

n 1

(n 2)n3

граничною ознакою порівняння здобудемо lim

n 3(n4

Відзначимо, що у всіх трьох прикладах виконується необхідна

ознака збіжності ряду.

arctg

4. Дослідити збіжність ряду

n 2

n2 n

Розв’язання. Загальний член ряду a

arctg

n3 1

0 . Очевидно,

що an при n є нескінченно малою того ж порядку, що й

. Дійсно,

lim

arctg

, тоді за ознакою порівняння випливає розбіжність

даного ряду, оскільки ряд

розбігається.

n 1

294


5.				ln n					.


	4					n	5
	n 1					n

			Розв’язання. Ряд																	1				збігається, бо p				5	1. Оскільки										при
			Розв’язання. Ряд																					збігається, бо p					1. Оскільки										при
																		n 1		4 n5							4
будь-якому											додатному								та			n справедлива					нерівність									ln n n ,
маємо:						ln n							n					1		. Виберемо з проміжку 0												1	, наприклад
					4									5 4			5 4														4
								n	5				n			n
									5

	1				5																	ln n																	1
			,					1, тоді								ряд									збігається, оскільки					ряд
		5			4																4																	5	4
		5			4																4			5														5	4
																			n 1				n												n 1 n
збігається.
																											1								1
Для порівняння можна, наприклад, обрати ряд																											1								1		.

																										5	4 1 5								21
																									n 1 n					n 1
																									n 1 n					n 1				n 20
																																		n 20
					1					n		1
					1					n		1
6.								ln							.
6.								ln							.
	n									n		1
	n 2

Розв’язання. an

n 1

ln 1

n 1

Оскільки

і ряд

n n

1 n

3 2

n 1 n

2		2
	~		.


n 1 n n n 1

збігається, то первинний

ряд теж збігається.

14.2.2. Ознака Даламбера

Нехай для знакосталого ряду існує границя частки

lim an 1 L ,

n an

тоді: при L 1 ряд збігається; при L 1 ряд розбігається; при L 1 ознака Даламбера непридатна.

На практиці ознаку Даламбера доцільно застосовувати до рядів, члени яких містять факторіали, показникові функції.

295

Зауваження. Якщо розбіжність ряду доведена за ознакою Даламбера,

то lim

an 0. Це ж стосується і радикальної ознаки Коші.

Приклади. Дослідити збіжність рядів.

n 3

n 1

(n 1)

Розв’язання.

n 3

, an 1

n 4

. Обчислимо

2n (n 1)

2n 1n

lim

an 1

lim

(n 4)2n (n 1)

lim

L 1.

(n 4)(n 1) ~ n2

n 2n 1n(n 3)

n n 3 ~ n2

2 n n2

Оскільки L 1, то відповідно до ознаки Даламбера ряд збігається.

n 1

(n 1)n 1

Розв’язання.

; an 1

. Обчислимо

(n 1)!

n 1

(n 1)n 1n!

n 1 n

lim

lim 1

e 1,

n (n 1)!nn

ряд розбігається.

14.2.3. Радикальна ознака Коші

Нехай для ряду an

з додатними членами існує

n 1

L ,

lim

n a

тоді: при L 1 ряд збігається; при

L 1 ряд розбігається; при

L 1 ознака

непридатна.

Приклади. Дослідити збіжність ряду

2n2

n 1 3n

Розв’язання. Обчислимо

296

		2n2		1	n		2n2		1		2 1 n2		2
lim	n					lim				lim				1.
			2					2				2
n		3n		5		n 3n			5	n 3 5 n			3

За радикальною ознакою Коші ряд збігається. Перевірку необхідної ознаки збіжності в даному випадку можна не виконувати.

	nn
2. Довести, що lim		0 .

n 2n !
Розв’язання.	Розглянемо ряд із загальним членом an		nn	.

			2n !

Довівши його збіжність, внаслідок необхідної ознаки збіжності ряду одержимо дану рівність. Дійсно, за ознакою Даламбера ряд збігається, оскільки

n 1

2n !

an 1

n 1 n 1

2n !

lim

1 !

2 n

n 2n ! 2n 1 2n 2

lim

e .

lim 1

3 5 7 ... 2n 1

3. Дослідити збіжність ряду

2 5 8 ... 3n 1

n 1

Розв’язання. За ознакою Даламбера

lim

an 1

lim

3 5 7 ... 2n 1 2n 3

2 5 8 ... 3n 1

3 5 7 ... 2n 1

2 5 8 ... 3n 2

= lim

2n 3

1 ряд збігається.

3n 2

14.2.4. Інтегральна ознака збіжності Коші

Якщо

f (x) є неперервною,

монотонно спадною,

невід ємною на

проміжку [1; ) функцією, то ряд f (n) і невласний інтеграл

f (x)dx

n 1

збігаються або розбігаються одночасно.

297

Приклади. Дослідити збіжність рядів.

n 2 n(ln n)2

Розв’язання. Покладемо f (x)

. Функція

f (x)

неперервна

x(ln x)2

при x 2 , спадає зі зростанням x , f (x) 0

x [2; ).

Перевіримо існування невласного інтеграла від цієї функції. За

визначенням

A d (ln x)

lim

x(ln x)

2 x(ln x)

2 (ln x)

ln x

lim

ln A

ln 2

Отже, невласний інтеграл збігається, звідси випливає збіжність ряду.

( p 0) .

n 1 n

Розв’язання.

умови

f (x)

0 (x 1) – монотонно спадна

x p

функція. Розглянемо невласний інтеграл ( p 0) :

x p 1

, p 1

lim

x p

A x p

A 1 p

, p 1.

При p 1 маємо

lim

ln x

1A .

при p 1

збігається

Отже, ряд

p 1.

n 1 n p

розбігаєть ся при

n 2 ln 2

2n 3

n 2

298

Розв’язання. Загальний член ряду an

0 .

n 2 ln 2 2n 3

Розглянемо ряд

. За інтегральною ознакою збіжності

2n 3 ln 2 2n 3

n 2

Коші ряд збігається, тому що невласний інтеграл

A d ln 2x 3

lim

2x 3 ln

A ln 2x 3

2 ln 7

збігається.

Застосовуючи граничну ознаку порівняння, знаходимо:

lim

2n 3 ln 2

2n 3

2 . Звідси випливає збіжність

досліджуваного

n 2 ln 2 2n 3

ряду.

14.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна й умовна збіжність

Знакозмінним називається ряд, членами якого є дійсні числа довільного знака, наприклад,

1	1		1		1		1		1		1			n(n 1)	1
													... ( 1)					...
														2
2		2		2		2		2		2		2		2			2
1	2		3		4		5		6		7					n

Знакозмінний ряд називається знакопочережним, якщо будь-які два його сусідніх члени мають різні знаки, тобто ряд типу


1 n 1an a1 a2 a3 a4	... ( 1)n 1an .., an 0.
n 1

Теорема Лейбніца. Якщо елементи an n 1 знакопочережного ряду

1 n an утворюють монотонно спадну послідовність, що наближається
n 1
до нуля, тобто якщо an an 1, n N	і lim an 0 , то ряд збігається,
	n

причому його сума додатна і менша ніж перший член ряду: 0 S a1 .

299

Висновок. Для знакопочережного ряду, що задовольняє ознаку збіжності Лейбніца, залишок rn за абсолютним значенням менше модуля

першого свого члена, тобто rn an 1, де

r ( 1)n 2 a

n 1

( 1)n 3 a

n 2

...

Теорема.

Якщо ряд

збігається,

то знакозмінний ряд an

n 1

збігається.

Знакозмінний ряд an називається абсолютно збіжним, якщо ряд

n 1

збігається,

та умовно збіжним, якщо

ряд

збігається, а ряд

n 1

розбігається.

n 1

Приклади. Дослідити збіжність рядів.

1. ( 1)n 1

n 1

n2 4

Розв’язання.

Загальний член ряду an

, an 1

n 1

(n 1)2

За ознакою Лейбніца маємо:

n 1

(перевірити самостійно); 2)

lim

0 .

n2 4

(n 1)2

n n2

Отже, ряд збігається.

Утворимо ряд з модулів членів даного ряду:

Необхідна

n 1

умова збіжності ряду виконується.

Порівняємо ряд

із розбіжним рядом

n2 4

, тоді за ознакою порівняння

lim

1, тобто ряд

n 1

n n2 4

300

з абсолютних значень розбігається. Отже, первинний ряд збігається умовно.


2. Дослідити збіжність ряду ( 1)n 1	n	.

n 1	5n

Розв’язання. Ряд збігається абсолютно, оскільки ряд n

n 1 5n

збігається, що можна перевірити, користуючись ознакою Даламбера.

3. 1 n 1

cos

n 1

Розв’язання.

Ряд

1 n 1 cos

2 1 n sin 2

n 1

Оскільки lim sin 2

0 ,

то первинний ряд збігається.

Ряд,

утворений з

абсолютних величин, поводиться так само, як ряд із загальним членом

оскільки

sin 2

. Тому він розбігається.

Таким

чином, ряд

1 n

1 cos

збігається умовно.

n 1

4. 1 n arctg

sin

n 1

Розв’язання.

Оскільки

arctg

sin

то

arctg

sin

n 1

збігається, звідки випливає абсолютна збіжність ряду 1 n arctg

sin

n 1

2n 1

5. 1 n

n 1

7n 3

Розв’язання. Ряд розбігається, тому що не виконується необхідна

умова збіжності ряду:

lim

2n 1

0 .

n 7n 3

301

1 n

n ln 3n

n 4

Розв’язання. Досліджуємо

на

абсолютну

збіжність, тобто

розглянемо ряд

;

За інтегральною

n ln 3n

3n ln 3n

n 4

ознакою Коші ряд

(а

отже,

і ряд

) розбігається,

3n ln 3n

n ln 3n

n 4

d ln 3x

тому що невласний

інтеграл

ln ln 3x

3x ln 3x

ln 3x

розбігається. Абсолютної збіжності немає.

Ряд збігається умовно за теоремою Лейбніца, оскільки:

;

2) lim

0 .

n ln 3n

1 ln 3 n 1

n n ln 3n

14.4. Функціональні ряди

Визначення. Ряд, членами якого є функції змінної х, називається

функціональним рядом

u1(x) u2 (x) ... un (x) ...

Множина значень змінної х, при яких ряд un (x) збігається, називається

n 1

областю збіжності функціонального ряду. В області збіжності ряду його сума є функцією х: S S(x) . Для збіжного функціонального ряду

lim rn (x) 0 . n

Визначення. Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на відрізку [a,b], якщо для будь-якого як завгодно малого 0 існує таке


N ,		що	n N, x [a,b]		справедливою	є	нерівність
	rn (x)	S(x) Sn (x)		.
	rn (x)	S(x) Sn (x)		.

302

Теорема Вейєрштрасса (достатня ознака рівномірної збіжності функціонального ряду). Якщо члени функціонального ряду u1(x) u2 (x) ... un (x) ... за абсолютним значенням не перевищують відповідних членів збіжного числового ряду з додатними членамиx [a,b], то функціональний ряд збігається абсолютно і рівномірно на


відрізку [a,b]. Інакше кажучи, якщо числовий ряд an , an 0 збігається
				n 1

та	un (x)	an x [a,b] , то ряд	un (x)	збігається, причому рівномірно,
та				збігається, причому рівномірно,

		n 1

на відрізку [a,b]. Ряд an називається мажорантним, а ряд					un (x) –
		n 1			n 1

мажоровним.

Приклади

1. Знайти область збіжності функціонального ряду sin nx .

n 1 n2

Розв’язання. Ряд збігається рівномірно для всіх дійсних х, оскільки

sin nx

, а числовий ряд

( p 2 1) збігається.

n 1 n

Знайти

область

збіжності

функціонального

ряду

27n x3n a rctg

n 1

Розв’язання.

За

ознакою

Даламбера

ряд

збігається

x , що

задовольняє нерівності

lim

un 1 x

;

un x

n 1

3 n 1

arctg

27x3

2 n 1 3

lim

= lim

2n 5

3 1.

27n x3n arctg

2n 3

303

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
01.03.2025705.3 Кб0Kultura_KhIKh_s1pravka-1.rtf
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc