Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1308 вузов, 5224 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

.pdf
Скачиваний:
172
Добавлен:
02.02.2015
Размер:
6.13 Mб
Скачать
☆

13.5.25. а) y 4 y 12y e 2x (12x2 13x 3) , б) y 3y 10y sin x 3cosx ,

в) y 6 y 13y 8e 3x cos2x .

13.5.26. а) y y x2 ,

б) y 4y 5y 16x sin 2x ,

в) y 6y 18y e 3x 12 cos3x sin 3x .

13.5.27.а) y 4 y 4y (12x 1)e2x , б) y 4 y 3y e2x sin x ,

в) y 2 y 17 y ex 16 cos4x sin 4x .

13.5.28.а) y 8y 25y xe4x ,

б) y 4y cos2x ,

в) y 5y 6y ex 74x cos3x 41sin 3x .

13.5.29. а) y 3y 2 y 4e 2x ,

б) y y xsin x ,

в) y 2y 2y ex 7 cos x 3sin x .

13.5.30. а) y y 2 y 6xe 2x ,

б) y y 4e2x sin x ,

в) y 25y 2cos5x x sin 5x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dyi

 

 

3

 

 

 

i 1,2,3

Завдання 6. Розв'язати систему

aik yk

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

матрицею A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

4

 

4

6

0

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.1. а)

A

 

0

5

3

; б)

A

2

3

0

; в)

A

1

1

 

 

 

1

3

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

1

1

0

 

1 0

 

2

 

 

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.2. а)

A

 

2

3

1

; б)

A

4

1

 

4

; в)

 

A

1

3

 

 

 

1

1

4

 

 

 

1 0

 

2

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

із заданою

3

1 .

3

1

1 . 1

284

 

1 1

0

 

3 0

1

 

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.3. а)

A

1

5

1

; б)

A

8

1

4

 

; в)

A

2

0

0

.

 

 

4

4

2

 

 

 

6

0

2

 

 

 

3

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

0

 

 

 

 

 

0

2

1

 

 

0

 

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.4. а)

A

0

1

1

; б) A

 

2

3

2 ; в)

A

 

2

 

0

2

.

 

 

 

 

1 3

4

 

 

 

 

 

 

4

 

8

5

 

 

 

 

3

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3 1

 

 

 

1 2

1

 

 

3

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.5. а)

A

3

5

 

0

 

 

; б)

 

A

0

3

2

; в)

A

 

1

 

1

1

.

 

 

 

 

 

4

4 2

 

 

 

 

 

 

0

6

4

 

 

 

 

3

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3 1

 

 

 

 

 

5

 

8

4

 

 

 

 

4

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.6. а)

A

1

1

0

 

; б) A

 

2

3

2 ; в)

A

2

0

 

2

.

 

 

 

 

0

1 3

 

 

 

 

 

 

1

2

0

 

 

 

 

 

1

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4 4

 

 

 

2 0

6

 

 

2

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.7. а)

A

1

5

1

; б)

 

A

4

1

8

 

; в)

A

0

 

 

 

0

 

2

.

 

 

 

 

 

0

1 1

 

 

 

 

 

 

1 0

3

 

 

 

 

1

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1 1

 

 

 

 

 

2 0

1

 

 

 

1

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.8. а)

A

1

3

 

2

; б)

A

4

1

 

4 ; в)

A

1

 

3

 

 

1

.

 

 

 

 

0

1

 

1

 

 

 

 

 

 

2 0

1

 

 

 

 

1

 

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

3

 

 

 

 

3

4

 

 

2

 

 

 

 

5

5

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.9. а)

A 2

1

 

2 ;б) A

 

2

3

 

2

;

в) A

 

2

 

 

2

 

3

.

 

 

 

3

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

0

 

 

 

6

6

0

 

 

5

 

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.10. а)

A

 

4

3

 

0

 

; б)

A

2

1

0

 

; в)

A

6

 

 

4

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

3

3

 

1

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0 1

 

 

 

5

0 1

 

 

2 3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.11. а)

A

 

2

1

1 ; б)

A

 

4

3

2 ; в)

A

 

1

 

 

4

 

2

.

 

 

 

 

 

 

5

0 0

 

 

 

 

 

6 0 0

 

 

 

 

2

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

2

0

1

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.12. а) A

3

3

1

 

; б)

A

2

1

2

 

; в)

A

7

2

2

.

 

2

0

1

 

 

 

2

0

1

 

 

3

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

285

 

1

3

3

 

 

3

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.13. а)

A

0

3

4

; б) A

0

 

 

1

2

; в)

A

3

4

6

.

 

 

 

 

0

5

5

 

 

 

 

0

 

 

6 6

 

 

 

 

 

 

 

 

6

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

2

 

1 0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.14. а)

A

1

3

 

3 ; б) A

 

2

 

1

 

 

2

; в)

A

 

2

 

2

 

 

 

7

.

 

 

1

2

 

1

 

 

1 0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

5

 

 

 

0 0 6

 

 

 

 

 

 

 

3 6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.15. а)

A

1

1

2

; б) A 2

 

3

4

; в)

A

 

2

4

 

1

.

 

 

 

 

 

1 0

2

 

 

 

 

1 0 5

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

3

 

 

 

2

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.16. а)

A

2

1

 

2

;б) A

2

 

3

2

;в) A

 

 

3

 

2

 

 

 

2

.

 

 

3

2

 

0

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

5

 

7 10

 

0

 

 

1 0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

5 6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.17. а)

A

4

5

 

0

 

 

; б) A

 

3

1

 

3

 

;

в)

A

 

 

3

3

5

.

 

 

 

1 3

 

2

 

 

 

 

2 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

4

 

1 0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.18. а)

A

2

5

 

4

 

; б) A 1

 

3

3

; в) A

 

1

 

1

 

 

1 .

 

 

1 1

 

1

 

 

 

 

 

2

 

4 51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 0

 

2

 

 

0 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.19. а)

A

7

2

3

 

;

б) A

2

 

1

 

2

 

; в)

A

4

 

3

 

4

.

 

 

 

10 0

 

3

 

 

 

 

3 0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

2

 

 

2 2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.20. а)

A

4

4

1

; б) A

 

0

 

1

 

 

0

 

;

в)

A

 

0

1

 

 

0

.

 

 

 

4

2

 

1

 

 

 

3 2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

1

 

 

1 0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.21. а)

A

0

5

 

4

 

; б) A

 

3

1

 

3

 

;

в)

A

 

5

3

 

 

3

.

 

 

 

0 10

 

7

 

 

 

 

2 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

4

 

 

0 2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3 4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.6.22. а)

A

1

4

 

4

; б) A

 

0

 

1

 

 

0

 

;

в)

A

 

0

1

 

0

 

.

 

 

 

2

4

 

1

 

 

 

 

1 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

286

 

 

3

 

 

 

13.6.23. а)

A

3

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

13.6.24. а)

A 4

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

13.6.25. а)

A

0

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

13.6.26. а)

A

0

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

13.6.27. а)

A

3

 

 

4

 

 

 

 

0

 

 

 

13.6.28. а)

A

2

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

13.6.29. а)

A

4

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

13.6.30. а)

A

2

 

 

5

 

 

0

10

 

2

0

3

 

7

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

7

 

; б)

A

2

1

2

 

; в)

A

4

3

4

.

0

5

 

 

 

1

0

0

 

 

 

2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

5

4

2

3

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

 

; б) A

3

3

1

; в) A

1

1

1

.

3

0

 

 

0

0

1

 

4

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

1

0

2

 

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

; б)

A

4 1

4

 

; в)

A

2

0 0

.

3

1

 

 

 

1

0

2

 

 

 

3

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

1 2

1

 

 

4

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

; б)

A

0

3

2

 

; в)

A

2

0

2

.

3

4

 

 

 

0

6

4

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

2

0 6

 

 

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

0

; б) A

 

4

1 8

 

; в)

A

1 3

1

.

 

4

2

 

 

 

 

1

0 3

 

 

 

 

1

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

6

6

 

 

0

 

 

2 3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

; б) A

2

1

 

 

0

; в) A

1 4

 

2

.

3

 

 

4

 

 

 

 

1

2

 

 

3

 

 

 

 

2 6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

0

 

 

2 0

1

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

 

; б)

A

2 1

2

 

 

; в)

A

3

4

6

.

 

3

1

 

 

 

 

2 0

1

 

 

 

6

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

 

 

1 0

2

 

 

3 6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

; б)

A

2 1

2

; в)

A

2 4

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0 0

 

 

1 0

 

 

 

 

3 2

 

Завдання 7. Знайти загальний розв'язок неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь: а) методом варіації довільних сталих або методом невизначених коефіцієнтів; б) методом виключення (приведення до одного рівняння другого порядку).

287

 

 

 

dy1

 

 

 

y

 

cos x,

 

 

 

 

13.7.1. dx

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

 

y1

 

sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

cos x,

 

13.7.3. dx

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

 

2 y1 y2

cos x sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

 

 

 

2 y

4 y

 

 

,

 

 

 

13.7.5. dx

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

 

y1

2 y2

 

2 sin 2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

1

,

13.7.7. dx

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

 

2 y1

 

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

 

y

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.7.9. dx

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

 

y1

 

 

 

 

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

 

 

 

y

 

 

sin x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

13.7.11. dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

y1

 

cos x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

 

4 y y

2

 

5x 1,

 

 

 

 

13.7.13. dx

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

y1

2 y2 x 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

 

2 y

 

4 y

 

 

cos x,

13.7.15. dx

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

y1

2 y2 sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

4 cos2x,

13.7.2. dx

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

2 y1

8cos2x 5sin 2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

y y

2

 

8x,

 

 

 

 

 

 

 

 

13.7.4. dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

5y1

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

y

 

 

tg

2

x 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

13.7.6. dx

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

y1

tg x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

y

 

 

2 y

 

 

e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

sin 2x,

13.7.8. dx

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

2 y1

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

2 y

 

 

3,

 

 

13.7.10. dx

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

2 y1

2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

y

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

13.7.12. dx

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

y1

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

2 y

 

y

 

 

,

 

 

13.7.14. dx

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

y1

2e

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

2 y

 

y

 

 

,

 

 

13.7.16. dx

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

y1

5sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

288

dy1

13.7.17. dx

dy2

dx

dy1

13.7.19. dx

dy2

dx

dy1

13.7.21. dx

dy2

dx

dy1

13.7.23. dx

dy2

dx

dy1

13.7.25. dx

dy2

dx

dy1

13.7.27. dx

dy2

dx

dy1

13.7.29. dx

dy2

dx

3y1 2 y2 ,

2 y1 y2 15ex x.

4 y1 3y2 sin x,

2 y1 y2 2 cos x.

4 y1 2 y2

 

2

 

 

,

 

 

 

ex

 

 

 

 

1

6y1 3y2

 

 

3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

ex 1

 

 

 

 

 

2 y1 y2 e2 x ,

3y1 2 y2 6e2 x .

y1 y2 2e x ,

6y1 4 y2 4e x .

2 y1 y2 sin x,

3y1 2 y2 cos x.

2 y1 y2 4e3x ,

3y1 2 y2 2e3x .

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

y

 

 

2e

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

13.7.18. dx

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

y1 x

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2 y

 

y

 

 

2e

 

,

 

 

13.7.20. dx

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

y1 2 y2 3e

4 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40e x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

5 y

2 y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.7.22. dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

y1

6 y2

9e

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 y

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.7.24. dx

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

3y1

2 y2 4e

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2 y

 

y

 

 

4,

 

 

 

 

 

13.7.26. dx

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

 

y1 2 y2 3x 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 y

y

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.7.28. dx

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

y1

2 y2

 

5e

x

sin x.

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4 y 5y

 

 

4x 1,

13.7.30. dx

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

 

y1 2 y2 x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

289

Глава 14. Числові та функціональні ряди

14.1. Числові ряди. Основні поняття. Необхідна ознака збіжності

Розглянемо

послідовність

чисел

a1,a2 ,...,an ,....

Вираз

 

 

 

 

 

 

a1 a2 ... an ... an називають числовим рядом;

an – загальним

 

n 1

 

 

 

 

членом ряду. Сума n перших членів ряду називається

n -ю частковою

сумою ряду і позначається

 

 

 

 

 

Sn a1 a2

.... an .

 

 

 

Ряд називається збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності

його часткових сум: lim Sn S . Число

S називають сумою ряду. Якщо

n

 

границя послідовності часткових сум дорівнює нескінченності або взагалі не існує, то ряд розбігається. При розгляді числових рядів практично розв’язуються дві задачі:

1)дослідити ряд на збіжність;

2)визначивши, що ряд збігається, знайти його суму.

Приклади. Користуючись визначенням, дослідити збіжність ряду та у випадку збіжності знайти його суму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n(n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Загальний член ряду an

1

 

1

 

1

 

, тоді

 

n(n 1)

n

n 1

 

 

 

 

 

 

Sn

1

 

1

 

...

1

1

1

 

1

 

1

...

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n(n 1)

2

2

3

 

 

 

1 2 2

3

 

 

 

 

n 1 n

Очевидно, що границя послідовності часткових сум дорівнює 1:

lim Sn

 

 

1

1 lim

1

 

1,

S

lim 1

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

n 1

n n 1

 

 

Отже, ряд збігається і його сума дорівнює 1.

 

1

 

1

 

1

1

.

 

n 1

 

 

n

 

 

n 1

цього ряду існує і

lim Sn 1. n

290

 

 

 

24

 

2.

 

 

.

 

 

 

9n

2

12n 5

n 2

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Розкладемо загальний член ряду на прості дроби:

an

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

3n 1 (3n 5) 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9n2

12n 5

 

 

 

(3n 5)(3n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3n 1

3n 5

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

.

 

 

 

 

(3n 5)(3n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3n 5)

(3n

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином,

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

3n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Sn 4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n 11

3n 5

 

 

 

 

 

7 4 10 7

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n 8

3n 2

 

3n 5

 

 

3n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

3.Ряд 1 1 ... 1 ...

lim

Sn

lim n .

n

 

n

 

 

 

1

 

 

 

 

lim

Sn 4 1

 

 

 

5 .

 

 

4

 

 

n

 

 

 

 

 

 

розбігається,

 

 

тому що

Sn n

та

4.

Ряд

11 11 ...

 

розбігається.

Тут

S1 1, S2

0, S3 1,

S4 0,..., S2n 0, S2n 1 1 і т.п., тому lim

Sn не існує.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

5.

Ряд геометричної прогресії

 

a aq aq2

... aqn ... (a 0)

при

 

q

 

1

 

 

збігається, і його сума S

 

a

 

; при

 

q

 

1 ряд розбігається.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Залишок ряду rn an 1 an 2 ... ... для збіжного ряду при n наближається до 0.

Необхідна умова збіжності ряду. Якщо ряд збігається, то його загальний член наближається до нуля, тобто

lim an 0 . n

Звідси випливає, що якщо lim an 0 , то ряд розбігається. Але

n

якщо lim an 0 , то ряд може збігатися, а може й розбігатися.

n

291

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Розглянемо ряд ln(1

1

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Загальний член ряду an ln(1

1

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

lim an

lim ln(1

1

) 0 , тобто виконується необхідна ознака збіжності

 

n

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряду. Проте ряд розбігається. Оскільки an ln(n 1) ln n,

то

 

 

 

Sn a1 a2 ... an

ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ... ln n ln(n 1) ln(n 1)

 

 

– ln n ln(n 1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

Sn

 

lim

ln(n 1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд вигляду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

...

1

...

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

n

n 1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

називається гармонічним.

Можна показати,

що

гармонічний ряд

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

також розбігається, незважаючи на те, що lim

an

lim

1

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд

вигляду

 

1

,

p

 

 

називається

узагальненим гармонічним.

p

 

 

 

 

n 1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Він збігається при

p 1, та розбігається, якщо

p 1.

 

 

 

 

Основні властивості збіжних рядів:

1. Якщо ряд uk збіжний і має суму S, то збіжним є ряд Cuk , де

k 1

k 1

 

 

C – константа і Cuk C S .

k 1

 

 

 

2. Якщо ряди uk

та vk збіжні та мають суми S1 і S2 відповідно,

k 1

k 1

 

 

то збігається ряд uk

vk і має суму S1 + S2 .

k 1

 

292

3. Сполучна властивість збіжного ряду. У збіжному ряді можна

довільно групувати члени, тобто якщо ряд uk є збіжним, то збіжним є

k 1

ряд

u1 u2 ...

uk

uk 1

uk 2 ...

uk

2

...

uk

n 1

1 uk

n 1

2 ...

uk

n

... ,

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

утворений довільним об’єднанням його членів із збереженням порядку їх прямування. Сума ряду при цьому не змінюється.

4. На збіжність ряду не впливає відкидання або приєднання скінченної кількості членів ряду.

Висновок. Ряд uk збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли

k 1

збіжний (розбіжний) довільний його залишок.

14.2. Достатні ознаки збіжності рядів з невід’ємними членами

14.2.1. Ознаки порівняння

Знакосталим називається ряд, усі члени якого додатні (від’ємні) числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1 (ознака порівняння). Нехай члени рядів an та

bn

 

 

 

 

 

n 1

n 1

додатні, й існує таке N , що при всіх n N

an bn . Тоді зі збіжності ряду

 

 

 

 

 

 

bn

випливає

збіжність ряду an , і

навпаки, із

розбіжності ряду

n 1

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

випливає розбіжність ряду bn .

 

 

 

n 1

 

n 1

 

 

 

 

Зауваження. Ознака залишається в

силі, якщо

нерівність

an bn

виконується не для кожного n , а починаючи з деякого номера n k .

 

 

Теорема 2 (гранична форма ознаки порівняння). Нехай члени рядів

 

 

 

 

 

 

 

an

та bn

додатні, й існує lim

an

L (L 0,L ) , тоді обидва

 

n 1

n 1

n bn

 

 

 

 

 

 

 

 

ряди збігаються або розбігаються одночасно.

293

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности