Лекції 2013-2014

«Компьютерная логика»

1семестр

1.Цели и задачи курса. Основные определения.

2.Информационные основы компьютерной техники.

3.Логические функции.

4.Логические элементы. Их обозначение и классификация.

5.Реализация логических элементов (с помощью релейно-контактных схем, на диодах и транзисторах, логические микросхемы, другие реализации).

6.Комбинационные схемы.

7.Методы минимизации переключающих функций.

8.Синтез комбинационных схем в разных элементных базисах.

2семестр

1.Комбинационные схемы в компьютерной технике.

2.Основы теории цифровых автоматов с памятью.

3.Методы синтеза цифровых автоматов с памятью.

4.Анализ логических схем и динамических процессов в цифровых автоматах.

5.Типичные цифровые схемы компьютеров.

Литература

1.Айзерман М.А., Гусев Л.А. и др. Логика. Автоматы. Алгоритмы. – М.: Физматгиз, 1963. – 556 с.

2.Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Проектирование дискретных устройств на интегральных микросхемах: Справочник. – М. : Радио и связь, 1990. – 304 с.

3.Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных устройств. – М. : Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1980. – 400 с.

4.Точчи Р.Дж., Уидмер Н.С. Цифровые системы. Теория и практика, 8-е издание. : Пер. с англ. – М. : Издательский дом «Вильямс»,

2004. – 1024 с.

Лекция 1 Цели и задачи курса. Основные определения

Понятие логики Логика – это наука о законах и формах мышления.

Логика – раздел философии, наука о формах, методах и законах познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.

Логика возникла в Китае, Индии и Древней Греции примерно в IV в до н. э. Современная логика происходит из греческой, основателем которой считают Аристотеля.

Слово «логика» используется также в значениях «внутренняя закономерность, присущая тем или иным явлениям».

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Еѐ создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Таким образом, алгебра логики (другое название - Булева алгебра) - это область математики. Она оперирует величинами, которые могут принимать два значения (булевых значения). Эти два значения могут быть обозначены как угодно, лишь бы по-разному. Самые распространенные варианты:

0, 1 F, T

false, true

ложь, истина Л, И

Алгебра логики применяется: 1) для упрощения сложных логических формул и доказательств тождеств; 2) при решении логических задач; 3) в

контактных схемах; 4) при доказательствах теорем; 5) в базах данных при составлении запросов.

Логическое высказывание – утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами. Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменѐн переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание.

Пример: A(x) = «В городе x идет дождь» A – высказывательная форма, x – объект.

Отрицание логического высказывания – логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.

Конъюнкция двух логических высказываний – логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.

Дизъюнкция двух логических высказываний – логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.

Импликация двух логических высказываний – логическое высказывание, ложное только тогда, когда одно из них ложно, а другое – истинно.

Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний – логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.

Кванторное логическое высказывание с квантором всеобщности

() – логическое высказывание, истинное только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.

Кванторное логическое высказывание с квантором существования

() – логическое высказывание, истинное только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно

Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.

Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом

Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0).

Сложное логическое выражение – логическое выражение,

составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

Система счисления – совокупность правил записи чисел.

Наиболее часто используются позиционные системы счисления, в которой положительное целое число записывается в виде последовательности символов enen–1..ep..e2e1, а вес каждого символа ep определяется его позицией в записи числа. Вес символа ep равен qp–1, q – основание системы счисления, а ep=0, 1, ..., q–1. Тогда любое целое положительное число E в системе счисления с основанием q можно записать

n

в виде E = ep q p 1 . При вычислении суммы полагаем, что все значения ep и

p=1

qp–1 представлены в десятичной системе счисления.

Максимальное n-разрядное число получается при ep=q–1 для всех p:

n

Emax = q 1 q p 1 = q n 1 .

p=1

Пример: при n = 3 и q = 10 максимальное n-разрядное число 103 – 1 =

999.

Из этого следует, что существует qn различных n-разрядных чисел (с учѐтом нуля).

Пример: при n = 3 и q = 10 количество n-разрядных чисел 103 = 1000.

Перевод числа из системы счисления с произвольным основанием q в десятичную систему счисления (q = 10) выполняется по приведенным формулам, для чего требуется перевести в десятичную систему счисления только числа ep и q.

Пример:

(3F)16 = X10

(3F)16 = 15*161-1 + 3*162-1 = 15 + 48 = 6310

Пример:

(1101)2 = X10

X10 = 1*21-1 + 0*22-1 + 1*23-1 + 1*24-1 = 1 + 4 + 8 = 1310

Двоичная система счисления широко используется в вычислительных устройствах для передачи, преобразования и хранения информации. Преимущество двоичной системы счисления перед системами счисления с другими основаниями – простота реализации устройств передачи и хранения (обычно оперируют отсутствием (0) и наличием (1) напряжения).

Код Грея – система счисления, в которой два соседних значения различаются только в одном разряде. Наиболее часто на практике применяется рефлексивный (отражѐнный) двоичный код Грея

2-битный код Грея

00

01

11

10

3-битный код Грея

000

001

011

010

110

111

101

100

4-битный код Грея

0000

0001

0011

0010

0110

0111

0101

0100

1100

1101

1111

1110

1010

1011

1001

1000