Методичка 1 Численные

у якої матриця системи А, вектор правих частин b і вектор розв’язку x мають деякі похибки заокруглень.

Доведемо, що число зумовленості є також мірою невизначеності розв’язку і для випадку (4.11). Для цього розглянемо спочатку лему.

Лема 4.1. Якщо С – квадратна матриця порядку n така, що C 1 , то існує обернена матриця E C 1 , причому

Доведення. З властивостей норми випливає нерівність

E C xx CxxCx 1 Cx .

Оскільки 1 C 0 , то звідси E C x 0 для x 0 , тобто система лінійних рівнянь E C x 0 має лише тривіальний розв’язок, що означає невиродженість матриці E C . Далі

1 E E C E C 1 E C 1 C E C 1 E C 1

C E C 1 E C 1 1 C 0,

що і доводить лему.

Теорема 4.1. Нехай А – не вироджена квадратна матриця порядку n,

~ , причому

A

A

A

Доведення. Оскільки A 1 A A 1 A 1, то з огляду на лему 4.1, існує E A 1 A 1 , причому

x A 1b , знайдемо

A A x x b b ,

E A 1 A x E A 1 A x A 1b A 1 b ,x E A 1 A A 1 b Ax ,

звідки

b

Оскільки у правій частині нерівності x A , то отримаємо шукано нерівність. Теорему доведено.

З оцінки (4.13) випливає, що достовірність отриманого розв’язку визначена не тільки зумовленістю матриці системи лінійних рівнянь, а й точністю вихідних даних.

Числом зумовленості системи лінійних рівнянь називають величину

Формула (4.14) пов’язує властивості матриці системи і похибку в завданні вихідних даних. У реальних задачах доцільно розглядати ті системи, для яких оцінки числа m значно менші одиниці, наприклад, m 0,01 .

Таким чином, величина числа зумовленості cond A є набагато

більш важливим критерієм труднощів розв’язання системи лінійних рівнянь, чим малість визначника матриці або її великий порядок. Система лінійних рівнянь із погано зумовленою матрицею мало стійка, тобто її розв’язок сильно змінюється при малих змінах як коефіцієнтів, так і вільних членів.

Якщо відомо, що А 1 , то очевидно, що cond A А 1 . Тобто,

якщо елементи матриці А перебувають в діапазоні від 0,1 до 1,0, то зумовленість матриці визначається величиною елементів оберненої матриці

А 1 . Таким чином, якщо матриця масштабована так, що її елементи близькі до одиниці, ознакою поганої зумовленості матриці є той факт, що де-

які або всі елементи матриці А 1 великі.

Якщо матриця А ортогональна, то cond A 1 незалежно від величи-

ни її порядку n.

Залежно від способів уведення норм матриць розглядають декілька видів чисел зумовленості матриць. Так, для симетричних матриць

max i

cond A mini i ,

i

де 1, 2 , , n – власні значення матриці.

Можна показати, що відстань до найближчої виродженої матриці, тобто до некоректної задачі розв’язування системи лінійних рівнянь, дорі-

1

внює величині cond A .

Розгляд продовжимо на системі

43

У зв’язку з тим, що cond A 39600 , то був знайдений майже найгі-

рший випадок. Якщо компоненти вектора b відомі з невизначеністю близько 0,0001, то вектор x може бути обчислений тільки з помилкою порядку 2. Це дуже погано зумовлена задача, тому що дві лінії, перетинання яких шукаємо, практично збігаються.

4.2.3. Метод Гаусса для розв’язування систем лінійних рівнянь

Для системи лінійних рівнянь Ax b із щільними матрицями, елементи яких зберігаються в оперативній пам'яті, не знайдено алгоритмів розв’язку, для яких доведено, що вони краще за часом або за точністю, чим методи послідовного виключення Гаусса. Гауссове виключення існує в багатьох варіантах, які алгебраїчно тотожні. Методи відрізняються характером зберігання матриць, порядком виключення, способами попередження більших погрішностей заокруглення й тим, як уточнюються обчислені розв’язки. Існують також варіанти, спеціально пристосовані для систем із симетричними додатно визначеними матрицями, які зберігаються в приблизно вдвічі меншому об'ємі пам’яті.

44

Якщо відомий LU-розклад матриці системи А та відома матриця перетворення М, що дозволяє перейти від матриці системи А до верхньої трикутної матриці U, то алгоритм зворотної підстановки (зворо-

тного ходу) метода Гауса можна записати наступним чином.

1.Перетворити вектор правих частин b Mb .

2.Обчислити вектор розв’язку х, починаючи з xn і закінчуючи x1 :

арифметичних операцій (множення).

4.2.4. Обчислення оберненої матриці По формулі для оберненої матриці, яка представлена у вигляді добут-

k j 1

45

Спочатку обчислюють елемент xnn за формулою (4.16). Потім обчислюють елементи n-го стовпця у порядку xn 1 n , , x1 n за формулою

(4.17) і далі – елементи n-го рядка xn n 1, , xn1 за формулою (4.18). Піс-

ля цього процес продовжують для елементів xn 1 n 1, , x22 . Останнім обчислюють значення x11 за формулою (4.16).

Якщо матриця А представлена у формі з перестановками PA LU ,

то

A 1P 1 U 1L 1 .

Отже,

A 1 U 1L 1P ,

де P 1 – матриця зворотної перестановки, що повертає рядки на їхні колишні місця. Неважко бачити, що P 1 PT .

У реальних обчисленнях часто обернена матриця A 1 знаходиться за допомогою розв’язування n систем лінійних рівнянь методом виключення Гаусса:

де ei – i-й стовпець одиничної матриці Е. Отримані вектори розв’язків x1, x2 , , xn утворюють n стовпців матриці A 1 , оскільки AA 1 E .

У цьому випадку LU-розклад вихідної матриці шукають один раз, а як вектори правих частин виступають відповідні стовпці mi матриці перетворень М. Тоді загальна кількість арифметичних операцій становить ве-

4.2.5. Принципи побудови ітераційних процесів розв’язування системи лінійних рівнянь

Ітераційні методи знаходять розв’язок системи х у вигляді границі послідовності x k деяких векторів, побудова якої здійснюється за допомогою однакового процесу, що називається процесом ітерацій:

lim x k x .

k

46

Ефективність ітераційних методів визначається швидкістю збіжності

послідовних рішень x k до розв’язку системи х.

Кожний ітераційний процес має свою обмежену область засто-

совності, тому що:

–процес ітерацій може виявитися розбіжним для даної системи;

–збіжність процесу може виявитися настільки повільною, що практично неможливо досягти задовільної близькості до розв’язку.

Нехай шукається розв’язок невиродженої системи рівнянь

1-м кроком в ітераційному методі є перетворення вихідної системи до вигляду

де матриці C, B і вектор d визначаються за матрицею A і вектором b. Причому системи (4.19) і (4.20) є еквівалентними, тобто їхні розв’язки

де x 0 – заданий вектор, x 0 x10 , x20 , , xn0 .

3-м кроком ітераційного методу є обґрунтування збіжності послідовних наближень x k , отриманих з (4.21), до точного розв’язку x* систе-

Оцінка (4.22) при заданій точності ε дозволяє зупинити узагальне-

ний ітераційний процес.

Різні ітераційні методи відрізняються першими двома кроками, а вибір конкретного методу виконується на підставі оцінки (4.22).

Найпростішими серед ітераційних процесів є стаціонарні ітераційні процеси, в яких матриці C k не залежать від номера кроку k. Зок-

рема, при C k E отримують класичний процес послідовних на-

ближень. Любий стаціонарний процес із C E можна розглядати як процес послідовних наближень, застосований до рівносильної системи

CAx Cb , 47

тобто підготовленої до застосування методу послідовних наближень. Близькими до стаціонарних є циклічні ітераційні процеси, в

яких матриці C k періодично повторюються через деякі р кроків. Ясно, що з кожного циклічного процесу можна одержати рівносильний йому стаціонарний, приймаючи за один крок стаціонарного процесу результат застосування повного циклу з р кроків вихідного циклічного процесу.

Нестаціонарні ітераційні процеси можна поділити на 2 види:

–повністю нестаціонарні ітераційні процеси, коли зміна мат-

здійснюється на кожному кроці;

– стаціонарні процеси із прискоренням збіжності за до-

помогою заміни час від часу стаціонарної матриці С, що визначає процес, на деякі спеціальним образом підібрані матриці C k .

Вибір матриці С для стаціонарного процесу та матриць C k для нестаціонарного процесу може здійснюватися виходячи з протилежних

принципів:

–побудова матриць C k так, щоб ітераційний процес збігався до розв’язку для найширшого класу систем рівнянь;

–протилежна точка зору – при побудові матриць C k максимально використовуються окремі особливості даної системи для одержання ітераційного процесу, що має найбільшу швидкість збіжності. При цьому необхідно мати додаткову інформацією про матрицю коефіцієнтів системи, зокрема про розташування її власних значень.

Важливим принципом побудови ітераційних процесів є принцип

релаксації, під яким розуміється принцип вибору матриць C k із деякого заздалегідь обкресленого класу матриць так, щоб на кожному кроці процесу зменшувалася будь-яка величина, що характеризує точність розв’язку системи.

Серед релаксаційних методів головними є:

–координатні, у яких матриці C k підібрані так, що на кожному кроці змінюється одна або декілька компонентів послідовних наближень;

–градієнтні, у яких матриці C k є скалярними.

Про точність наближеного розв’язку x системи Ax b роблять висновок, виходячи з величини вектора похибки y x* x . Однак век-

тор похибки не може бути обчислений без знання точного розв’язку x* і може тільки оцінюватися.

48

Вектором, що характеризує точність наближеного розв’язку системи

(4.11), може також служити вектор нев'язання (нев'язання або відхил)

r b Ax .

Ясно, що

r Ay .

Таким чином, релаксація може бути побудована на зменшенні будьякої норми кожного із цих векторів.

Для додатно визначених матриць А зручною мірою точності є функ-

ція похибки

f x Ay, y y, r A 1r, r .

f x x* x,b Ax x* ,b x,b x* , Ax x, AxAx, x 2 x,b x* ,b .

Функція похибки не може бути обчислена, якщо не відомий точний розв’язок. Однак її значення лише постійним доданком відрізняється від значень функціонала

f0 x Ax, x 2 x,b ,

які можуть бути обчислені без знання x* . Тому можна робити висновки про убування функції похибки, порівнюючи відповідні значення функціонала f0 x .

Іншим важливим принципом побудови ітераційних процесів є принцип послідовного «придушення компонентів» вектора похибки в розкладанні його за власними векторами матриці коефіцієнтів системи.

4.2.6. Метод простої ітерації Найбільш простим ітераційним процесом є процес послідовних на-

ближень. Чисельний метод, побудований на базі даного процесу, назива-

ють методом простої ітерації або методом послідовних на-

ближень. Тут система рівнянь (4.19)

Ax b

записується у вигляді

49

щоб усі власні значення матриці В були за модулем менше одиниці.

У зв’язку з тим, що умови теореми 4.2 важко перевірити, про збіжність процесу послідовних наближень часто роблять висновок по достатніх ознаках, пов'язаних безпосередньо з елементами матриці В.

Теорема 4.3. Для того щоб процес послідовних наближень збігався, достатньо, щоб будь-яка норма матриці В була менше одиниці.

Оцінимо швидкість збіжності процесу послідовних наближень у термінах норми. При цьому як норма векторів може бути обрана будь-яка, але норма матриць повинна бути погоджена з обраною нормою векторів.

50