Методичка 1 Численные

А* А . Цю норму називають спектральною нормою або верхньою гранню матриці. Якщо матриця ортогональна, то для неї А 2 1 . Відповідно, квадратний корінь із найменшого власного значення матриці

А* А називають нижньою гранню матриці А. Очевидно, що нижня грань матриці А є число, обернене до верхньої грані оберненої матриці.

k 1

матриці. За аналогією з нормою вектора цю норму матриці часто назива-

ють нормою Чебишова.

Геометрична інтерпретація норми матриці – це найбільша

творенні x Ax .

Для випадку двовимірного арифметичного простору геометрична ін-

i, j

векторною нормою X 2 , не може бути підлегла ніякій векторній нормі, 21

ніуса.

Порівняння різних норм приводить до наступних нерівностей:

2.3. Постановка завдання

1.Додати в розроблений клас «Матриця» методи, які дозволяють обчислювати всі векторні норми (1,2,∞), розглядаючи вектор як матрицю розміру 1 n або n 1 .

2.Додати в розроблений клас «Матриця» методи, які дозволяють обчислювати всі розглянуті матричні норми (1, 2, ∞, Е, N A , M A ). Для

обчислення максимального за модулем власного значення скористатися наступним алгоритмом.

Алгоритм знаходження максимального за модулем власного значення матриці А порядку n:

1.Обирають пробний початковий вектор x 0 розміру n, у якого максимальний за модулем елемент дорівнює одиниці, а інші дорівнюють нулю, і задають точність ε.

2.У циклі за номером ітерацій k 1,2,3.... обчислюють вектор

y k Ax k 1 .

22

3. Серед компонентів вектора y k знаходять максимальний за модулем

тоді процедура припиняється. У протилежному випадку необхідно перейти до кроку 2.

Якщо процес збігається, то послідовність m 1 , m 2 ,..., m k , збігається до найбільшого за модулем власного значення max . При цьому послідов-

ність нормованих векторів x 1 , x 2 ,..., x k збігається до власного вектора, що відповідає власному значенню max .

2.4. Контрольні запитання

1.Що називається нормою вектора?

2.Які існують векторні норми?

3.Який геометричний зміст норм векторів?

4.Що називається нормою матриці?

5.Що означає, що норма матриці погоджена з нормою вектора?

6.Що означає, що норма матриці підпорядкована нормі вектора?

7.Які існують матричні норми?

8.Який геометричний зміст норми матриці?

23

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3. LU-РОЗКЛАД. ВИЗНАЧНИК МАТРИЦІ

3.1. Мета роботи

Метою роботи є вивчення методів обчислення LU-розкладу для різних типів матриць, а також знаходження на їх основі визначника матриці.

3.2. Теоретичний матеріал

3.2.1. LU-розклад

Для розв’язку систем лінійних рівнянь та знаходження визначників матриць використовують розклад матриць на добуток нижньої та верхньої трикутної, який називають трикутним розкладом матриці або LU-

розкладом.

Нижня (ліва) трикутна матриця – квадратна матриця

C cij , така, що cij 0 для i j . Аналогічно, якщо cij 0 для i j , то матриця С є верхньою (правою) трикутною матрицею.

LU-теорема. Нехай задано квадратну матриця А порядку n і Ak означає головний мінор матриці, складений з перших k рядків і

m11 m22 mnn 1 , і єдина верхня трикутна матриця U uij , такі, що LU = A. Більше того, det A u11u22 unn .

Для доведення цієї теореми скористаємося методом математичної

індукції. Якщо n = 1, очевидно, подання а11 1 u11 однозначно і det A u11 . Припустимо, що теорема правильна для n = k–1. Для n = k розкладемо А на підматриці:

де r – рядок з k–1 елементів; с – стовпець із k–1 компонентами; akk – число. Запишемо:

24

що завершує доведення.

Аналогічним чином можна при тих же припущеннях можна довести, що А має єдиний розклад вигляду A = LDU, де L і U є верхні й нижня трикутні матриці з одиницями на діагоналях, a D – діагональна матриця. Більше того, det A d11d22 dnn . Дійсно, U з LU-теореми є просто DU в LDU-теоремі. Далі, можна показати, що якщо А симетрична й задово-

льняє умовам LU-теореми, то з рівності A = LDU витікає, що U LT (де

LT – матриця, транспонована до L).

Дійсна симетрична матриця А називається додатно визначеною,

тоді можна записати G LD12 , і відповідно A GGT . Таким чином, можна сформулювати наслідок з LU-теореми.

Наслідок. Якщо А – симетрична додатно визначена матриця, то вона має єдиний розклад вигляду GGT , де G є нижня трикутна матриця з додатними діагональними елементами.

Подання матриці А у вигляді добутку LU є основною ідеєю гауссових схем виключення, які призначені для розв’язку системи лінійних рівнянь. У цьому випадку система Ах = b може бути записана як

LUx b

і зводиться до двох систем із трикутними матрицями:

Ly b і Ux y ,

які легко вирішити. Компоненти проміжного розв’язку у можуть бути отримані з першої системи безпосередньо, тому що перше рівняння містить тільки y1 , друге – тільки y1 й y2 і т.д. Потім компоненти х

можуть бути аналогічно отримані із другої системи в такому порядку: xn , xn 1, , x1 .

Обчислення матриць L і U разом з розв’язком системи Ly b звичайно називається прямим виключенням, а розв’язок системи Ux y –

зворотною підстановкою.

Розглянемо алгоритм класичного LU-розкладу в матрич-

ному вигляді на прикладі. Нехай задано матрицю А четвертого порядку. Проведемо елементарні операції з рядками для того, щоб елементи матриці А нижче головної діагоналі зробити рівними нулю.

Припустимо, що a11 0 . Сформуємо матрицю M1 E та обчислимо елементи першого стовпця M1 , що знаходяться нижче головної діагоналі

mi1 ai1 , i 2,3,4.

a11

Таким чином, M1 буде нижньою трикутною матрицею наступного вигляду

головної діагоналі стали рівними нулю, а елементи першого стовпця не

Тоді A 3 M3 A 2 M3M 2M1A є верхня трикутна матриця, яку позначимо через U. Нехай M M3M 2M1 . Тоді з того, що MA U , одержимо A M 1U . Але M 1 M1 1M 2 1M3 1 . Неважко бачити, що M k 1 це матриця M k , у якої знаки недіагональних елементів замінені на протиле-

жні. Далі, добуток M1 1M 2 1M3 1 – матриця L з LU-теореми, причому

Під час розв’язку системи лінійних рівнянь перетворення правої час-

тини, тобто перехід від b до b 3 , часто проводиться одночасно з перетворенням А, але тому що зберігаються всі необхідні множники, його можна проводити пізніше як окрему операцію, помноживши b 3 Mb M3M 2M1b .

Для компактного збереження LU-розкладу в пам’яті ЕОМ можна використовувати квадратний масив n n , де елементи mij матриці L збері-

гаються на місці піддіагональних елементів матриці, а елементи uij матриці U розташовуються на місці діагональних і наддіагональних елементів:

З урахування такої структури зберігання всі відмінні від 0 і 1 елементи матриць L і U можуть бути однозначно обчислені за допомогою двох формул

Для цього спочатку проводять обчислення для першого рядка за формулою (3.2), а потім обчислюють елементи першого стовпця без першого елемента за формулою (3.3). Далі процес продовжують аналогічно.

рядки матриці A так, щоб у лівому верхньому куті виявився ненульовий елемент. У першому стовпці такий елемент завжди знайдеться, інакше det A 0 . Аналогічна процедура можлива на будь-якому кроці алгорит-

му, коли aiii 1 0 .

28

Теоретично така перестановка необхідна тільки в тому випадку, коли який-небудь із елементів a11, a221 , , annn 1 , що називаються провідними

елементами виключення, точно дорівнює нулю. Однак обчислювальні міркування показують, що якщо провідний елемент близький до нуля, то ділення на нього призведе до значних погрішностей при одержанні розв’язку системи лінійних рівнянь.

Зменшення обчислювальної погрішності здійснюється шляхом перестановки рядків і стовпців матриці так, щоб провідний елемент на k-у кроці виключення був найбільшим за модулем із коефіцієнтів, що надалі беруть участь у виключенні:

де aij0 aij .

Вибір провідних елементів за формулою (3.4) називають методом виключення з повним упорядкування або повним виключенням.

Повне виключення вимагає великих додаткових обчислювальних витрат, тому часто на практиці зупиняються на методі виключення з част-

ковим упорядкуванням по рядках, що також називають стратегією часткового упорядкування Уілкінсона. Згідно цієї стратегії як провідний елемент на кожному кроці вибирається максимальний за абсолютною величиною у відповідному стовпці, тобто

Назвемо матрицею перестановок таку квадратну матрицю порядку n, у якої кожний рядок і кожний стовпець містить точно одну одиницю і n 1 нулів. Якщо P – матриця перестановок, то PA – це матриця А

зпереставленими рядками, а AP – з переставленими стовпцями.

Зогляду на можливість перестановки рядків у LU-теоремі можна опустити припущення про визначник і сформулювати наступне твердження.

Твердження. Якщо А – довільна невироджена квадратна матриця, то існує матриця перестановок P, нижня трикутна матриця L з одиничною діагоналлю та верхня трикутна матриця U, такі, що LU PA . Однак L і U не завжди визначаються однозначно матрицями P і A.

29

Число арифметичних операцій (множення) у методі виключення Га-

час витрачається на приведення матриці до трикутного вигляду. Вибір провідного елемента akkk 1 відповідно до стратегії часткового упорядкування вимагає O n арифметичних операцій (віднімання). Однак при цьому загальна кількість операцій у методі виключення Гаусса при n залишиться O n3 . При повному упорядкуванні витрати на вибір провід-

ного елемента виключення порівняні по порядку величини із приведенням матриці до трикутного вигляду.

3.2.3.Обчислення визначника за допомогою LU-розкладу

Здоведення LU-теореми отримано, що

det A det U u11 u22 unn a11 a221 annn 1 .

Якщо матриця А представлена у формі з перестановками, то відповідно до властивості визначника

det P det A det L det U .

Але матриця P отримана перестановкою рядків одиничної матриці Е, тоді

1 припарнійкількості k перестановок,

det P

1 принепарнійкількості k перестановок.

Остаточно, визначник матриці А дорівнює

det A 1 k a11 a221 annn 1 .

3.2.4. Розклад Холецького для додатно визначених матриць Будь-яка симетрична додатно визначена матриця A має єдиний роз-

де G - нижня трикутна матриця з додатними діагональними елементами. Зокрема, з додатної визначеності матриці витікає невиродженість її

головних мінорів, що необхідна для LU-теореми. Розписавши (3.5) заелементно, одержимо, що якщо елемент a jj перебуває на головній діагоналі

матриці A, тоді

30

Ці рівняння узяті у відповідному порядку визначають всі елементи матриці G. Один з типових порядків такий:

g11, g21, , gn1; g22 , g32 , , gn2; g33, , gnn .

Спочатку з рівняння (3.6) знаходять діагональний елемент, а потім використовуючи (3.7), можна знайти недіагональні елементи того ж стовпця, тобто

Елементи матриці A, розташовані вище діагоналі, через симетрію не розглядаються.

Алгоритм (3.8) називають методом Холецького або методом квадратних коренів для розкладення додатно визначеної матриці. Одна з переваг методу полягає в тому, що тут відсутня необхідність у виборі головного елемента. Для матриць, які не є додатно визначеними, вибір головного елемента необхідний, тому що в цьому випадку відбувається ділення на ці елементи і необхідно бути впевненим, що елементи утвореної матриці не дуже великі, тому що більші елементи призводять до більших похибок заокруглення та втраті точності.

У методі Холецького для додатно визначених матриць із рівняння (3.6) видно, що gij aii i, j . Інакше кажучи, елементи матриці G об-

межені навіть при відсутності вибору головного елемента.

Метод квадратних коренів потребує O n3 операцій типу множення

6

добування кореня), тобто за великих n він удвічі швидший, ніж метод Гаусса, і потребує вдвічі менше чарунок пам’яті.