Mikroprotsesorni-pristroyi (1)

добуток є істинним тільки в тому випадку, якщо істинні складові частини добутку (окремі вирази).

Таблицю, по якій визначають істинність логічного добутку залежно від істинності окремих виразів, називають таблицею істинності. Вона має наступний вигляд:

Таку ж таблицю істинності ми одержали б, якби написали спочатку В, а потім А. Отже, АВ = ВА.

Крім цього, А·А = А; А·1 = А; А·0 = 0.

У істинності цих трьох рівностей (точніше тотожностей) ми переконаємося, якщо задаватимемо для А значення 0 або 1. Наприклад, першу рівність можна виразити так: якщо логічно помножити деякий вираз сам на себе, то добуток матиме значення цього виразу. І, дійсно, з таблиці істинності

Складання (диз'юнкція). Складання двох виразів виражається за допомогою союзу АБО. Результат складання називають логічною сумою.

Ів цьому випадку найважливішим є питання про істинність логічної суми

іїї залежності від істинності окремих виразів.

Незалежно від змісту виразів, для істинності логічної суми достатньо, щоб хоч би один з виразів, був істинний.

Логічна сума допускає одночасну істинність двох виразів, оскільки її істинність визначається наступною таблицею:

41

Таблиця істинності не змінилася б, якби ми поміняли місцями А і В, тобто

А + В = В + А. Крім того, А + А = А; А + 1 = 1; А + 0 = А.

Три приведених вище рівності (тотожності) можна перевірити, задаючи для А значення 0 або 1. Для першого можемо написати 0 + 0 = 0; 1 + 1 = 1. Або словами: якщо підсумовувати логічний вираз сам з собою, сума має значення цього виразу.

Аналогічним способом перевіримо другу тотожність: 0 +1= 1; 1 +1 = 1. Для третьої тотожності: 0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1.

Складні вирази можуть містити більш ніж два прості вирази і можуть бути результатом більш ніж однієї логічної дії:

x = AB + С ;

x = ( A + B) C

Таблиці істинності складних виразів одержують шляхом послідовного виконання вказаних дій.

Наприклад, для складного виразу, який має вигляд

x = AB + C ,

одержані результати приведемо в табл. 1.3.

Є складні вирази, чия істинність постійна і не залежить від істинності вхідних в них простих виразів. Такі вирази називають тотожними, наприклад вираз, значення якого завжди рівне 0 (ніколи не істинно). У логіці цей закон носить назву закону суперечності.

42

Вираз x = A + A також тотожний і має значення, рівне 1 (завжди істинно). Це відомий в логіці закон виключеного третього.

Для логічної суми справедливо наступна рівність:

А + (В + С) = ( А + В )+С.

Для логічного добутку справедлива наступна рівність:

А(ВС) = (АВ)С; А · (В+С) =АВ+АС.

Особливої уваги заслуговують два наступні складні вирази:

A + AB = A(1 + B) = A ×1 = A; AB + AB = A(B + B) = A ×1 = A

Ці вирази є запис закону подвійності, який свідчить: якщо у формулі деякого складного виразу замінити всі знаки множення знаками складання і навпаки, одержимо вираз, еквівалентний первинному. Наприклад, якщо у виразу AB + AB = A замінити в лівій частині знаки, то одержимо

( A + B) ×( A + B) = A .

Заперечення логічної суми і логічного множення підкоряються формулі де Моргана: A + B = AB . Дві приведені вище формули можна узагальнити на випадок більше двох виразів: A + B + C + ... + N = A × B ×C ×...× N ;

A × B ×C ×...× N = A + B + C +... + N .

Використання властивості складання виразів дає можливість

43

перетворювати ці вирази в простіші.

Розглянемо вираз х = А + АВ. Перетворимо його таким чином:

x = А + АВ; х = А ( 1 + В ).

Але 1 + В = 1, і тоді х = А 1 = А. Отже, А + АВ = А. Ця операція, пов'язана із зникненням простого виразу В, називається поглинанням.

Застосовуючи закон подвійності, можемо записати А ( А + В ) = А.

Інша операція, пов'язана із спрощенням логічних формул, називається

злиттям: AB + AB = A(B + B) = A , де В + В= 1

Це перетворення називають злиттям по В. І тут можна застосувати закон подвійності: ( A + B) ×( A + B) = A .

Нижче приводяться розглянуті нами залежності Булевої алгебри в тому вигляді, як вони використовуються в спеціальній літературі.

44

Деякі тотожності:

A( A + B) = AB

A + AB = A + B

( АВ ) (А + В ) = АВ

АВ + АВ = АВ + АВ

( А + В ) ( В +С ) ( А + С ) = АВ + ВС + АС

( А + В) × ( А + С) = АС + АВ

AC + AB + BC = AC + BC

( A + B) ×(B + C) ×( A + C) = ( A + B) ×( A + C)

Операції І і АБО по суті є двійковими функціями, в яких число змінних як, мінімум, рівно двом. Можна довести, що з п двійкових змінних можна

скласти 22n функцій. Якщо приймемо, що п = 2, то одержимо 222 = 24 = 16 функцій двох двійкових змінних. У табл.1.4 приведені значення істинності цих функцій, а під таблицею дано їх опис. У дужках приведені англійські назви найпоширеніших функцій.

Слід особливо відзначити, що всі двійкові функції можуть виражатися одна через іншу.

Якщо узяти, для прикладу, розглянуті функції НІ, І і АБО, то можна стверджувати, що всі функції таблиці 1.4 можуть бути виражені за допомогою двох з цих трьох функцій, якщо одна з них буде НІ. Але функції F8 і F14 точно відповідають цій умові. Отже, за допомогою будь-якої з них можна виразити всі

45

інші двійкові функції.

Таблиця 1.4 – Значення 16-ти функцій двох двійкових змінних Х і Y

46

1.6. Способи представлення складних функцій

Коли складний вираз складається з суми добутків простих виразів (або їх заперечень), ми говоримо, що складний вираз написаний в диз'юнктивній нормальній формі (ДНФ).

Наприклад:

x = AB + AB; x = ABC + ABC + ABC; x = ABC + AB + ABC .

Третій складний вираз відрізняється від першого і другого тим, що в його другому доданку відсутнє С (абоC ).

Якщо в кожному доданку (доданок – це добуток простих виразів) беруть участь всі прості вирази або їх заперечення, ми говоримо, що складний вираз написаний в досконалій диз'юнктивній нормальній формі (ДДНФ).

Для математичної логіки найбільший інтерес представляють (головним чином з погляду мінімізації) складні вирази, які написані в ДДНФ. Тому ми розглянемо спосіб переходу від ДНФ до ДДНФ.

Наприклад, якщо дано вираз, то перехід до ДДНФ проводиться шляхом множення першого доданку на

x = AB(C + C) + ABC; x = ABC + ABC + ABC .

Коли складний вираз складається з добутків сум, в які входять прості вирази (або їх заперечення), ми говоримо, що воно написане в кон'юнктивній нормальній формі (КНФ). Наприклад:

x = ( A + B) × (B + C); x = ( A + B) × ( A + B) .

І тут під досконалою кон'юнктивною нормальною формою (ДКНФ)

розуміють складний вираз у формі добутку, складеного з сум, в кожну з яких входять всі прості вирази (або їх заперечення).

Наприклад:

x = ( A + B + C) ×( A + B + C) ×( A + B + C) .

Перехід від КНФ до ДКНФ проводиться таким чином. Нехай x = ( A + B) A . Множимо на А, тоді

47

x = ( A + B) × A ×(B + B) = ( A + B)( AB + AB) .

На підставі закону подвійності запишемо

AB + AB = ( A + B) ×( A + B) .

Внаслідок чого одержимо ( A + B )A = ( A + B )×( A + B ) ×( A + B ) .

1.7. Мінімізація складних виразів

Досконалі диз'юнктивна і кон'юнктивна форми використовуються для мінімізації складних логічних виразів. Мінімізація - це таке перетворення даної формули, при якому нова формула містить менше число букв.

Розглянемо приклад x = ABC + ABC . У цьому складному виразі можна винести АВ за дужки, тобто провести злиття по букві С:

х = АВ .

Для складного виразу x = ABC + ABC + ABC + ABC можна виконати злиття По C (для першого і другого добутків) і по А (для третього і четвертого

добутків). Тоді одержимо

x = AB(C + C) + BC( A + A); x = AB + BC .

1.8. Фізичні основи реалізації логічних функцій

Фізична реалізація математичних і логічних операцій може бути здійснена за допомогою самих різних елементів: механічних, пневматичних, гідравлічних, електричних, електронних і ін. Розглянемо приклад реалізації логічних функцій на основі електричних елементів: батареї, ключів (вимикачів) і лампочок [1]. Свічення лампочки буде доказом правильності виконання даної логічної операції.

1.Операція логічного складання (АБО) – лампа горить, коли включений тільки один з двох ключів (А або В) (рис. 1.1).

2.Операція логічного множення (І) – лампа горить тільки тоді, коли

48

включені обидва ключі (А і В) (рис. 1.2).

3.Операція логічного заперечення (НЕ) – лампа горить, коли не включений ключ (рис. 1.3). При включенні ключа лампа гасне, оскільки клеми батареї при цьому замикаються накоротко. При використанні цієї схеми для демонстрації логічного заперечення, ключ слід тримати включеним дуже короткий час, щоб не пошкодити батарею.

4.Операція заперечення логічного підсумовування (АБО-НЕ) – лампа горить, якщо НЕ включений один з ключів А АБО В (рис. 1.4).

5.Операція заперечення логічного множення (І-НЕ) – лампа горить, якщо НЕ включені одночасно обидва ключі А і В (рис. 1.5).

Механічні і електричні реалізації вимагають втручання людини. Кроком на шляху до автоматизації пристроїв, що виконують логічні функції, з'явилися

електромагнітні реле, що мають контакти трьох видів: 1) нормально розімкнені, які замикаються при протіканні струму через обмотку;

2)нормально замкнуті, які розмикаються при протіканні струму через обмотку;

3)перемикальні, які складаються з пари нормально розімкнених і пари

49

нормально замкнутих контактів.

У 1944 р. в Гарвардському університеті (США) вперше була створена релейна обчислювальна машина з роздільною пам'яттю даних і програм. Таке розділення пам'яті даних і програм одержало назву “ Гарвардська архітектура”, яка в даний час широко використовується в сучасних МПС і МК, оскільки, дозволяє значно підвищити їх швидкодію.

Наступним кроком в автоматизації реалізації логічних функцій з'явилися електронні логічні елементи.

1.9. Логічні схеми з напівпровідниковими елементами

Перші електронні логічні елементи були побудовані на електронних лампах. Тут ми розглянемо тільки схеми з напівпровідниковими приладами, оскільки в сучасній обчислювальній техніці застосовуються виключно напівпровідникові логічні схеми.

Із-за стрибкоподібної зміни вхідних логічних сигналів напівпровідникові елементи працюють в режимі перемикання, при якому опір електричного ланцюга змінюється від нуля до безкінечності. Строго кажучи, таких перемикальних елементів взагалі не існує, але реальні елементи більшою мірою наближаються до ідеальних. За допомогою діодів можна реалізувати логічні схеми І і АБО. Перевагою діодно-резисторних логічних схем є їх простота, а недоліком – ослаблення сигналу на виході, тобто те, що амплітуда вихідного сигналу стає менше амплітуди вхідного. Із-за ослаблення сигналу не прийнято сполучати послідовно більше двох діодно-резисторних логічних схем.

Транзистори є найважливішими елементами в схемах сучасних обчислювальних машин. У транзисторних логічних схемах вхідні сигнали також змінюються стрибкоподібно між двома рівнями, один з яких приймають за логічний 0, а інший – за логічну 1. Транзистори звичайно працюють в так званому ключовому режимі, який характеризується тим, що транзистор або повністю замкнутий (режим відсічення), або повністю відкритий (режим

50