Mikroprotsesorni-pristroyi (1)

Таблиця 1.2 – Співвідношення чисел в десятковій, шістнадцятирічній, вісімковій і двійковій системах

Наприклад, останнє число в третьому стовпці табл. 1.2 можна представити так: 0001|0100. Перші чотири розряди зліва (0001) дають число 1, а другі чотири розряди (0100) дають число 4, або разом 14. Це дорівнює числу 2010, написаному в шістнадцятирічній системі.

У двійково-десятковій системі числення кожна десяткова цифра від 0 до 9 представляється чотирьохрозрядним двійковим еквівалентом, наприклад, 94210 =1001 0100 00102-10 . Це дозволяє скоротити програмні і апаратні витрати в МП при виведенні на екран десяткових чисел.

31

Вісімкова і шістнадцятирічна системи числення дозволяють здійснювати запис числа, представленого в двійковій системі, в більш стислому вигляді.

1.2. Переклад чисел з однієї системи числення в іншу

Переклад цілих десяткових чисел в двійкову систему або переклад чисел з двійкової системи у вісімкову і назад є окремими випадками перекладу чисел з однієї системи в іншу. Існують загальні правила перекладу чисел з однієї системи числення в іншу (наприклад “ метод ділення”) [1,6,7]. Розглянемо найбільш часто використовувані в обчислювальній техніці системи числень: двійкову, вісімкову, десяткову, шістнадцятирічну і двійково-десяткову.

Розглянемо приклад перекладу числа 49 з десяткової системи в двійкову форму (приведений нижче).

Для цього представимо число 49 у вигляді суми добутків числа 2 в ступені, помноженого відповідно на 1 або 0 [1]. Віднявши з 49 число 25·1, рівне 32, одержимо в залишку 17 і запишемо 1 в п'ятому розряді. Після другого віднімання з числа в залишку 17 числа 24·1=16 одержимо одиницю і запишемо

1в четвертому розряді. Оскільки в залишку 1 не міститься ні 8 = 23, ні 4 = 22, ні

2= 21, ці числа можемо представити як добуток кожного з них на 0, записавши нулі у відповідних розрядах. Наступна одиниця стоїть в наймолодшому розряді двійкового числа: 20 =1.

Отже, 4910 = 1100012.

Існує ще один метод перекладу цілих чисел з однієї системи в іншу – метод ділення. Згідно йому, десяткове число ділять на основу нової системи.

32

Якщо при цьому одержане число більше основи, ділення продовжують до отримання частки, меншої за основу. Частка від останнього ділення є старший розряд числа в новій системі. За ним йдуть залишки від попередніх ділень, починаючи з останнього залишку.

У математиці переклад числа з однієї системи в іншу для більшої наочності записують так:

допомогою приведеного правила послідовного ділення на 2. Наприклад, число 11 можна записати так:

Отже, 1110 = 10112.

Коли необхідно перевести велике число, зручніше спочатку перевести його у вісімкову систему і після цього кожен розряд вісімкового числа представити трьома розрядами двійкової системи. Як ми знаємо, 18310 = 2678.

Тоді 2678 = 0101101112.

Якщо число в десятковій системі менше основи системи, в яку ми хочемо перевести число, то в написанні немає різниці:

110 = 18 = 12 ; 610 = 68.

Для перекладу правильного десяткового дробу (що містить тільки дробову частину без цілої частини) в іншу систему, необхідно послідовно

33

помножити цей дріб на основу нової системи до тих пір, поки дробова частина не стане рівна нулю. При цьому помножують тільки дробову частину. Дріб в новій системі складається з цілих частин добутків, починаючи з першого добутку [1,6,7].

Наприклад, переклад правильного десяткового дробу 0,3125 у вісімкову систему проводиться так :

Отже, 0,312510 = 0,248.

Здійснимо переклад в двійкову систему:

Отже, 0,312510 = 0,01012.

Цього результату можна досягти швидше, якщо в числі 0,248 кожен розряд представити трьома двійковими розрядами:

0,248 = 0,0101002.

34

Таким чином, ми одержали той самий результат.

Зрозуміло, зліва від найбільшого ступеня числа 2 (якщо він менше, ніж 0,5) ми напишемо необхідні нулі. Для цього необхідно мати в своєму розпорядженні таблицю ступенів числа 2 з негативними показниками ступеня.

Якщо дріб неправильний, тобто, якщо число містить як цілу, так і дробову частини, то ці частини переводять в нову систему окремо за описаними вище правилами.

1.3. Арифметичні дії з двійковими числами

Складання. Для виконання складання використовується наступна таблиця:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Останній рядок таблиці показує, що при складанні двох одиниць в результаті виходить одиниця в більш старшому розряді.

Застосуємо цю таблицю для додавання декількох пар двійкових чисел:

Таким же чином проводиться складання трьох і більше двійкових чисел:

Поки не буде добре засвоєне складання трьох і більше чисел, рекомендується проводити перевірку шляхом складання тих же чисел в

35

десятковій системі, чи ж складати спочатку два числа, потім до одержаної суми додавати третє число, потім – четверте і т.д.

Так само виконується складання в МП і ЕОМ, де для цієї мети використовують спеціальні пристрої, названі двійковими суматорами.

Віднімання. При відніманні використовують наступну таблицю: 1 – 1 = 0 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1

10 – 1 = 1 (останній рядок таблиці показує, що для віднімання 1 з 0 необхідно зайняти 1 з більш старшого розряду).

Розглянемо декілька прикладів:

І тут бажано виконувати перевірки в десятковій системі. Для полегшення віднімання вводиться поняття доповнення. Необхідність цього поняття розглянемо в десятковій системі. Можна помітити, що в десятковій системі дане число легко віднімається з числа, яке утворене одиницею в старшому розряді і нулями в решті розрядів (1 10n), а число вигляду 1·10n також легко віднімається з інших чисел: 100 – 76 = 24; 2498 – 1000 = 1498.

Доповненням даного цілого десяткового числа називають інше ціле десяткове число, яке, будучи складеним з першим, дає число, що складається з одиниці в більш старшому розряді (в порівнянні із старшим розрядом даного

36

Збільшення і віднімання одного і того ж числа (у нашому випадку 100) не змінює результату, а лише полегшує виконання дії.

Приведений приклад дозволяє вивести наступне правило знаходження

різниці з використанням доповнення.

1.Визначити доповнення від'ємника.

2.Скласти одержане доповнення із зменшуваним.

3.З одержаної суми відняти число, що складається з одиниці в старшому (по відношенню до від'ємника) розряді і нулів в решті розрядів.

Аналогічно це виконується і в двійковій системі. Доповнення даного двійкового числа знаходять на практиці так: замінюють всі одиниці нулями, всі нулі – одиницями і до одержаного результату додають одиницю в наймолодшому розряді. Розглянемо це на прикладі двох двійкових чисел 11001 і

111.Від'ємником є число з меншою кількістю одиниць в старших розрядах, тобто 111. Доповненням до 111 є 1. Після визначення доповнення проводимо його складання із зменшуваним 11001, після чого з одержаного результату 11010 віднімаємо число, що складається з нулів і одиниці в більш старшому розряді по відношенню до числа, що віднімається, 1000.

Перевірку здійснюємо в десятковій системі: 25 – 7 = 18.

Множення. Таблиця множення двійкових чисел, яка представлена нижче, має наступний вигляд:

Розглянемо декілька прикладів множення двійкових чисел:

37

1.5. Логічні основи і алгебра логіки

Логічні основи МП і мікроЕОМ (мікроконтролерів) будуються на принципах математичної логіки. Математична логіка – наука яка не змінює основного змісту логіки, як науки про форми і закони мислення, але дозволяє точніше і вірно вирішувати задачі. Розглянемо лише один з розділів математичної логіки – алгебру логіки, яка в основних своїх рисах була створена англійським математиком Джорджем Булем [1,7].

Алгебра логіки оперує з двійковими змінними, тобто з такими змінними, які можуть приймати тільки одне з двох можливих значень. Іншими словами, наші вирази, незалежно від їх змісту, розглядаються тільки з погляду істинності: вірно або невірно, істинно або помилково.

Заперечення. Заперечення виразу одержимо, якщо використовуємо частинку НІ або вираз "невірно, що". Для позначення заперечення над прописною буквою ставиться риска (в цьому випадку читаємо: А з рискою або не А).Дія логічного заперечення виражається наступною таблицею:

Або словами: заперечуючи вірний вираз, ми говоримо не правду; заперечуючи невірний вираз, ми говоримо істину.

Написавши над А дві риски, ми одержимо подвійне заперечення A = A . Це правило відоме в логіці як закон подвійного заперечення. Заперечення

1 рівне 0 і навпаки.

Множення (кон'юнкція). Множення двох виразів зображається за допомогою союзу І. Результат множення називають логічним добутком. Найважливішим є питання про істинність логічного добутку і про те, як воно залежить від істинності окремих виразів. Незалежно від змісту, логічний

40