Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Итерационные методы Численные.pdf
Скачиваний:
63
Добавлен:
02.02.2015
Размер:
527.06 Кб
Скачать

ТЕМА 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ

ЗНАЧЕНИЙ И ВЕКТОРОВ

5.1. Характеристика итерационных методов

Большинство итерационных методов определения собственных значений и векторов матрицы А основаны на приведении матрицы А с помощью

невырожденных преобразований к такой матрице A* , для которой проблема собственных значений является простой. Например, если А – вещественная матрица с различными вещественными собственными значениями 1 , , n , то

матрица преобразования Т, которая переводит А к диагональному виду полностью решает проблему. Действительно,

a*

 

 

 

 

11

 

0

 

 

 

*

 

A*

0

a22

T 1 AT .

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

ann

Столбцы матрицы Т образуют полную систему собственных векторов А, а

диагональные элементы матрицы A* являются собственными значениями А. Чтобы определить собственные значения матрицы (при тех же

предположениях относительно i ), не обязательно приводить ее к

диагональному виду. Достаточно привести ее к треугольному виду, т.к. на диагонали будут расположены собственные значения А:

a*

a*

a*

 

 

 

 

 

 

 

11

12

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

a*

a*

 

T 1 AT .

 

 

 

A*

0

22

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ann

 

 

 

 

 

 

Действительно, характеристическое уравнение для A*

 

 

 

 

 

 

det A* E 0

 

 

 

 

 

представляется в форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a*

a*

a*

0

 

 

 

 

11

 

22

 

nn

 

 

 

 

 

 

откуда следует, что собственные

значения

A*

A* a*

, a*

, , a*

.

 

 

 

 

 

 

 

11

22

nn

 

Осталось показать, что A A* . Это вытекает из равенств det A* E det T 1 AT E det T 1 A E Tdet T 1 det A E det T det A E .

Определение собственных векторов ei* треугольной матрицы A* является простой задачей, т.к. она эквивалентна решению системы однородных

уравнений A*e

a* e ,

i

 

, с треугольной матрицей и каким-либо

1, n

i

ii i

 

 

 

дополнительным условием, однозначно выделяющим собственные векторы,

например, e*

1,

i

 

. Зная собственные векторы матрицы A* , можно

1, n

ii

 

 

 

 

 

получить собственные векторы А с помощью матрицы преобразования Т

 

 

 

 

e

Te* ,

 

 

 

 

i

i

поскольку из равенства

T 1 ATei* aii* ei*

следует соотношение

A Tei* aii* Tei* .

Замечание. Если вещественная матрица имеет комплексные

собственные значения, она не может быть приведена к треугольной матрице A* с помощью вещественного преобразования. Матрицей, к которой можно привести любую матрицу А с помощью вещественного и даже ортогонального

преобразования, является почти

треугольная

матрица

A* (форма

Хессенберга):

 

 

 

 

 

 

a*

a*

 

a*

 

 

 

11

12

 

1n

 

 

a*

a*

 

a*

 

 

A*

21

22

 

2n

.

(5.1)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

*

*

 

 

 

 

 

an n 1

ann

 

 

В задаче определения собственных значений и векторов первым шагом является приведение матрицы А к форме (5.1). Эту процедуру обычно выполняют, чтобы дальнейшие вычисления выполнять с ненулевыми

элементами A* ,, которых при больших n почти вдвое меньше, чем у исходной матрицы А. Для симметричных матриц форма (5.1) принимает трехдиагональный вид:

 

 

a*

a*

 

 

 

 

 

 

 

11

12

 

0

 

 

A

*

a21*

a22*

a23*

 

(5.2)

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

*

*

 

 

 

 

 

 

an n 1

ann

 

5.2. Приведение матрицы к почти треугольному виду

Приведение матрицы А к виду (5.1) будем осуществлять с помощью ортогональных преобразований Т, которые, как известно, сохраняют длину векторов, т.е.

Tx 2 x 2 или Tx,Tx x, x .

При этом матрица ортогонального преобразования Т обладает свойством T 1 T T ; кроме того, произведение ортогональных матриц есть ортогональная

матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве матриц Т будем рассматривать матрицы отражения.

Матрица отражения Т, порожденная вектором

d

d1 , , dn ,

определяется

формулой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

0

 

 

d

2

d

d

 

d

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

T E 2dd T

0

1

0

 

2 d2 d1

 

d22

 

d2 dn

(5.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

1

 

 

 

 

 

 

d2 dn

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dn d1

dn

 

 

 

где

 

d

 

 

 

2 1. Выражения,

полученные

по

формуле (5.3), называют

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

преобразованием Хаусхолдера.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрически матрица T задает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отражение

 

вектора

x

относительно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости

с

единичным

 

нормальным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектором d.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица Т будет симметричной и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ортогональной:

Td d . Если

вектор

x

 

 

 

 

 

 

 

Tx

 

 

 

ортогонален d, то Tx x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим

 

 

 

 

элементарное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отражение Т,

 

 

который

 

 

переводит

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заданный

 

вектор

a a1, a2 , , an

в

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

вектор

 

 

 

коллинеарный

 

 

вектору

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

1,0, ,0 . Таких отражений будет два

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(соответствуют знакам ±):

 

 

 

 

Ta

 

 

 

 

 

 

e1

Ta

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ta

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор d, порождающий искомое преобразование, задается формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d c a1

 

 

 

 

a

 

 

 

2

, a2 , , an ,

 

 

 

 

 

 

(5.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где константа с определяется из условия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

2

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объединяя (5.3), (5.4) и (5.5), получим искомое отражение Т.

Для однозначного приведения вещественной матрицы А к виду (5.1) обычно используют дополнительное требование, состоящее в том, чтобы значения поддиагонали в (5.1) были одного знака, например,

ai,i 1 0, i 2, n . (5.6)

Это условие выделяет определенный знак в (5.4) и единственное элементарное отражение.

Алгоритм приведения к почти треугольной матрице

следующий.

1 шаг. Определим матрицу n-го порядка:

S

 

1

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

21

 

 

где T1 – матрица n 1 -го порядка – отражение, переводящее вектор

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

 

 

вектор, коллинеарный e 1,0, ,0 . Матрица A* S AS 1

S AS имеет вид:

 

1

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

*

*

 

*

*

 

 

0

*

A*

 

 

 

0

*

 

 

 

 

 

 

0

*

 

**

**

**

**

* *

*, a21* 0,

* – элементы, которые могут быть ненулевыми. 2 шаг. Определим матрицу n-го порядка:

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2

 

0

1

0

 

,

 

 

0

0

T2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a*

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

где T2 – матрица n 2 -го порядка – отражение, переводящее вектор

 

в

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

an2

 

вектор, коллинеарный e 1,0, ,0 . Матрица

A* S

2

S AS S

2

имеет вид:

 

 

1

 

1

1

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.