2 Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных

уравнений методом прогонки

При применении метода конечных разностей к краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка получается «трехчленная система» линейных алгебраических уравнений, каждое из которых содержит три соседних неизвестных. Для решения такой системы разработан метод, получивший название метода прогонки.

Запишем первые n-1 уравнений системы (1.5) в виде

(1.6)

Разрешая уравнение относительно

(1.7)

и предполагая, что с помощью полной системы (1.5) из уравнения (1.7) исключена неизвестная , получим

,

(1.8)

где – некоторые коэффициенты. Из (1.8) следует, что

(1.9)

Подставляя (1.9) в уравнение (1.6), получим

откуда

Сравнивая последнее выражение с (1.8), получим для определения рекуррентные формулы:

(1.10)

Для определения коэффициентов запишем соотношения (1.9), (1.10) при i=0:

и выразим из первого краевого условия (1.5)

Сравнивая последние два равенства, получим

(1.11)

Вычисления по методу прогонки проводятся следующим образом.

Прямой ход. По формулам (1.6) вычисляем значения , . Находим по формулам (1.11) коэффициенты , , а затем, применяя последовательно рекуррентные формулы (1.10), получаем значения , при .

Обратный ход. Из уравнения (1.8) при i=n-2 и последнего уравнения (1.5) получаем

Разрешив полученную систему относительно , определяем

(1.12)

Используя уже найденные значения , . Далее, последовательно применяя рекуррентные формулы (1.8), вычисляем значения (i=n-1,…,1):

.

(1.13)

Значение находим из уравнения системы (1.5):

(1.14)

Все вычисления метода прогонки рекомендуется располагать в виде таблицы (рисунок 2).

Рисунок 2 – Порядок вычислений по методу прогонки

Задание: Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью =10^-3; шаг h = 0,05.

Выберем шаг h=0.05 . Согласно условию задачи имеем:

Вычисляем величины , , ;

Прямой ход. Вычисляем величины , и ,

После выполнения «прямого хода» переходим к выполнению «обратного хода», который состоит в определении значений искомой функции.

Таблица 2 – Метод прогонки для решение краевой задачи

0	0.4	-1.85	0.856	-0.541	-1.71	2
1	0.45	-1.85	0.856	-0.721	-0.788	1.994
2	0,5	-1.85	0.855	-0.811	-0.483	1.979
3	0,55	-1.85	0.855	-0.864	-0.332	1.958
4	0,6	-1.85	0.854	-0.899	-0.243	1.933
5	0,65	-	-	-0.924	-0.184	1.905
6	0.7	-	-	-	-	1.875

Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения состоит в определении значений функции y(x):

y=

Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей и методом прогонки с учетом погрешности имеют равные значения функции y, значит решение краевой задачи выполнено верно.