Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный

университет»

Факультет компьютерных технологий

Кафедра «Прикладная математика и информатика»

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

по дисциплине «Численные методы»

Решение краевых задач для обыкновенных

дифференциальных уравнений

Студент группы 5МИб-1 Н.С. Самойлов

Преподаватель О.В. Козлова

2017

Содержание

Введение…………………………………………………………………… 3

1 Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных

уравнений методом конечных разностей ……………………………… 4

2 Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных

уравнений методом прогонки……………………………………….….. 7

Заключение………………………………………………………………… 11

Список использованных источников...…………………………………... 12

Введение

На практике часто возникает необходимость решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Отличие краевой задачи от задачи Коши (задачи с начальными условиями) состоит в том, что решение дифференциального уравнения должно удовлетворять граничным условиям, связывающим значения искомой функции более чем в одной точке.

Точные решения краевых задач для дифференциальных уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо.

Методы приближенного решения краевой задачи разделяются на две группы:

- Разностные методы (позволяют найти приближенное решение в виде таблицы);

- Аналитические методы (позволяют найти приближенное решение в виде аналитического выражения).

Одним из наиболее простых методов решения краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений и метод прогонки.

1 Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных

уравнений методом конечных разностей

Решение краевой задачи для уравнения:

		(1.1)
		(1.2)

состоит в определении значений функции y(x), удовлетворяющей данному уравнению (1.1) и краевым условиям (1.2), где p(x), q(x), f(x) - известные непрерывные на отрезке [a,b] функции, - заданные постоянные, причем и . Если A=B=0, то краевые условия называются однородными.

Разобьем отрезок [a, b] на n равноотстоящих узлов с некоторым шагом . Точки разбиения имеют абсциссы , ( ).

Получаемые в результате расчета приближенные значения искомой функции y(x) и ее производных y'(x), y'(x) в узлах обозначим через , , соответственно. Также введем обозначения , , .

Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные конечноразностными отношениями:

(1.3)

а на концах отрезка положим:

(1.4)

Подставив (1.3), (1.4) в уравнение (1.1) и условия (1.2):

(1.5)

Получим линейную систему n+1 алгебраических уравнений с n+1 неизвестными. Решив ее, получим таблицу приближенных значений искомой функции

Задание: Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения точностью =10^-3; шаг h= 0,1.

Разбив отрезок [0,4; 0,7] на части с шагом h=0,1 получим четыре узловые точки c абсциссами x₀=0,4; x₁=0,5; x₂=0,6; x₃=0,7. Две точки x₀=0,4 и x₃=0,7 являются конечными, а две другие – внутренними.

Заменим приближенно в каждом внутреннем узле и концах отрезка производные конечно-разностными отношениями (1.3) и (1.4). Составим систему линейных алгебраических уравнений.

Для решения систем в Mathcad имеется специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

Given — ключевое слово;

Система, записанная логическими операторами в виде равенств и, возможно, неравенств;

Find( ... , ) — встроенная функция для решения системы.

Решая систему, получим таблицу приближенных значений искомой функции.

Таблица 1 – Метод конечных разностей для решение краевой задачи

0	0.4	2
1	0.5	1.969
2	0,6	1.92
3	0,7	1.865

Реализация метода конечных разностей в Mathcad (рисунок 1).

Рисунок 1 – Метод конечных разностей в Mathcad