1.3 Решение типовых примеров

Пример 1.1 Пусть имеется выборка из 10 наблюдений (то есть N=10):

x₁=5, x₂=2, x₃=4, x₄=5, x₅=7, x₆=3, x₇=6, x₈=8, x₉=3, x₁₀=9.

Исследовать свойства одномерной случайной величины

Решение

1 Построение вариационного ряда (ряда распределения)

z₁=2, z₂=3, z₃=3, z₄=4, z₅=5, z₆=5, z₇=6, z₈=7, z₉=8, z₁₀=9.

2 Построение диаграммы накопленных частот

– на оси абсцисс отмечаем значения наблюдений 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

– затем откладываем значения по оси ординат.

Левее x_min=2 значение ординаты равно нулю, а в точке x=2 диаграмма имеет скачок, равный 1/N=1/10. В данном примере в выборке присутствуют два значения x=3 и два значения x=5 (λ=2), следовательно, в точках x=3 и x=5 на диаграмме происходит скачок, равный λ/N=2/10. В остальных точках выборки диаграмма имеет скачок, равный 1/N=1/10. Для величин x>x_max=9 значение диаграммы накопленных частот равно 1

1

9/10

8/10

7/10

6/10

5/10

4/10

3/10

2/10

1/10

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Рисунок 1.1 – Построение диаграммы накопленных частот

3 Построение гистограммы выборки

K = 1 + 3,2lg10 = 1+3,2 = 4,2 ≈ 5,

∆x = (9 – 2) / 5 = 7/5 = 1,4,

(x_max+x_min)/2 = (9+2)/2 = 5,5 – центр распределения выборки, для данного примера при выбранном числе интервалов – это середина третьего интервала. Следовательно, слева и справа от этого значения необходимо отложить по 2,5 интервала или 2,5∆x.

5,5

x

2 3,4 4,8 6,2 7,6 9

∆x

Рисунок 1.2 – Разбиение оси Ox на интервалы (кванты)

В первый интервал попало три значения z_l N₁=3, во второй – одно значение z_l N₂=1, в третий – три значения z_l N₃=3, в четвертый – одно значение z_l N₄=1, в пятый – два значения z_l N₅=2.

N=10, N₁/N=3/10=0,3; N₂/N=1/10=0,1; N₃/N=3/10=0,3; N₄/N=1/10=0,1; N₅/N=2/10=0,2.

По результатам предыдущих этапов строим гистограмму для данного примера.

0,3

0,2

0,1

2 3,4 4,8 6,2 7,6 9 x

Рисунок 1.3 – Построение гистограммы выборки

4. Определение оценок математического ожидания,

дисперсии

среднего квадратического отклонения :

Пример 1.2 Две установки должны напылять резисторы с одинаковыми сопротивлениями. При замере получены следующие данные (в Омах):

Установка 1 (Х₁): 1095, 1025, 938, 915, 1012, 980, 975, 990, 1000, 974;

Установка 2 (Х₂): 942, 938, 1010, 1030, 973, 915, 990, 970,925, 1045, 1100, 1020, 985, 1082, 1065, 1090.

Определить, одинаково ли налажены установки.

Решение. По формулам (1.22) и (1.23) определяем:

₁=987,7 Ом; s₁²=2587,12 Ом² при ,

₂=1005,0 Ом; s₂²=3605,73 Ом² при .

Затем по формулам (2.4) и (2.5) находим

S²=(9·2587,12+15·3605,73)/(9+15)=3223,75

0,3049

По таблице A1 приложения А находим t_кр =2,06 ( =0,05; )

Так как t_кр>t, то гипотеза о равенстве выборочных средних принимается, следовательно обе установки налажены одинаково.

Пример 1.3 Установка для напыления должна быть настроена на величину сопротивления напыляемых резисторов M(х)=15кОм. При замере получились следующие значения: 13,2; 14,7; 12,9; 15,3; 13,8; 14,1; 12,8; 16,8; 13,5; 14,2; 16,2; 14,1; 13,9; 14,3; 15,1кОм.

Определить правильность настройки.

Решение Определим среднее значение и стандартное отклонение полученной выборки по формулам (1.22) и (1.23)

=13,5 кОм, s²=1,8973 кОм² при

Так как величину надо сравнить с постоянным числом, то размах Стьюдента подсчитывается по формуле

(1.29)

По таблице А1 приложения А при β=0,05, ν=15 находим t_кр=2,13.

Так как t_кр<t, то гипотеза о равенстве выборочного среднего значения сопротивления напыляемых резисторов заданным 15 кОм отвергается, следовательно установка для напыления настроена неправильно.

Пример 1.4 Определить границы существования истинного значения математического ожидания по условию примера 1.2 при доверительной вероятности P=0,95.

Решение Для коэффициента риска β=1–p=0,05 и степени свободы ν=15 величина критерия Стьюдента по таблице А1 приложения А t_кр=2,13. Из формулы (1.29) и используя условие принятия критерия о равенстве двух средних: t_кр>t, можно составить следующее неравенство

,

Следовательно

Подставляя числовые значения, получаем

12,766 кОм < M(x) < 14,234 кОм

Пример 1.5 При измерении толщины слоя окисла после диффузии в большой партии пластин получилась следующая выборка: 30, 29, 28, 31, 34, 30, 28, 29, 29, 28, 30, 28, 31, 30, 29, 30, 28, 31, 30, 28, 28 мкм.

Определить наличие грубых ошибок.

Решение Грубой ошибкой измерения может быть только крайнее значение выборки, то есть в данном случае это 28 или 34 мкм. Так как значение 34 мкм встречается всего один раз, то сначала необходимо проверить его.

Задача сводится к сравнению двух средних выборок, одна из которых состоит из единственного подозреваемого значения, а вторая – из всех остальных. То есть надо сравнить выборку без подозреваемого значения с постоянным числом (этим подозреваемым значением).

=29,25; s²=1,2204 при n=20.

По формуле (2.5) для M(x)=34 получаем

По таблице А1 приложения А при β=0,05, ν=n–1=19 находим t_кр=2,14.

Так как t_кр<t, то гипотеза о равенстве сравниваемых значений отвергается, следовательно подозреваемое значение является грубой ошибкой и должно быть исключено из дальнейшей статистической обработки.

Пример 1.6 Определить, одинакова или различна точность измерений двух выборок в примере 1.2.

Решение Согласно формуле (1.27) вычисляем критерий Фишера. Поскольку в числитель всегда ставится большее число, тогда в данном случае

По таблице А2 приложения А при β = 0,05, ν_числ = 15, ν_знам = 9 находим F_кр=2,71. Так как F_кр>F, то гипотеза о равноточности измерений в обеих сериях опытов принимается.

Пример 1.7 В результате измерений четырех партий резисторов получены следующие данные

Таблица 1.1 – Исходные данные для примера 1.7

Номер партии	Результаты измерений, кОм
1	12,1	11,7	11,9	11,9	12,1	11,8	12,3	12,0	11,6
2	14,5	14,7	14,9	15,2	14,6	15,3	15,6	15,1	14,9
3	19,3	20,1	20,7	19,5	19,8	20,3	20,4	19,4	20,5
4	26,1	27,3	27,8	26,5	26,8	27,3	27,1	27,6	26,7

Определить одинакова или различна точность измерений всех партий резисторов.

Решение Для каждой партии резисторов найдем средние арифметические значения и эмпирические дисперсии по формулам (1.22) и (1.23).

По формуле (2.7) вычисляем критерий Кохрена

По таблице А3 приложения А при β=0,05, ν_числ=8, ν_знам=4 находим G_кр=0,54. Так как G_кр>G, то можно считать, что все измерения во всех опытах сделаны равноточно, причем дисперсия измерений в среднем равна