9.3 Задачи для решения
Построить регрессионную модель но результатам исследований стационарного непрерывного технологического процесса, считая, что предпосылки регрессионного анализа выполняются (табл. 9.3). К результатам опытов из табл. 9.3 прибавить номер выполняемого варианта.
Таблица 9.3
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
x1 |
11 |
12,6 |
16,7 |
19 |
11,3 |
12 |
21,2 |
24 |
14,1 |
19,3 |
20,5 |
x2 |
93 |
92 |
89 |
87 |
94 |
88,5 |
89,5 |
93,5 |
93,8 |
95 |
94,5 |
y |
10,7 |
13,0 |
19,3 |
23,2 |
11,4 |
12,1 |
27,3 |
29,6 |
15,6 |
24,1 |
25,5 |
Продолжение табл. 9.3
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
x1 |
21 |
12,5 |
16,5 |
22 |
19,5 |
13,5 |
17,5 |
20 |
22 |
22,3 |
24,1 |
x2 |
92,3 |
92.2 |
96 |
91,3 |
92,5 |
97 |
93,3 |
92 |
98 |
94,5 |
95 |
y |
26,4 |
13,1 |
19,3 |
27,9 |
24 |
14,4 |
21 |
24,7 |
28 |
28,8 |
29,6 |
9.4 Контрольные вопросы
1. Назовите основные отличия активного и пассивного экспериментов, их преимущества и недостатки.
2. Каков порядок проведения пассивного эксперимента в производственных условиях?
3. Какую информацию о качестве технологического процесса несут контролируемые в процессе производства параметры качества?
Модуль 4 «методы оптимизации» практическое занятие № 10
10.1 Методы оптимизации
Главной задачей и конечной целью решения большого числа разнообразных исследовательских проблем управления, проектирования и планирования обычно является достижение и поддержание экстремальных, то есть наилучших, показателей. Процесс нахождения и поддержания наилучших (в определенном смысле) значений целевой функции объекта называется оптимизацией.
Критерий оптимизации (целевая функция) Y обычно задается, иногда исследователь задает ее сам. Этот критерий должен удовлетворять следующим основным условиям:
– нести в себе существенную информацию об объекте, о качестве процесса;
– измеряться с достаточной точностью;
– носить обобщенный характер, то есть отражать свойства и качества процесса в целом.
Если
математическое ожидание критерия
оптимизации у есть функция от вектора
входных управляемых переменных
(факторов), то есть
M{y} = f( ) = f(x1, x2, …, xk), (10.1)
где k – число факторов,
то задача оптимизации сводится к отысканию таких значений факторов
*
= (x1*,
x2*,
…, xk*),
(10.2)
при которых целевая функция достигает экстремума (максимума или минимума).
Если на объект воздействуют аддитивные помехи, то зависимость (10.1) выражает не функциональную, а регрессионную зависимость, которая в (k+1)-мерном пространстве n факторов xi (i =1, 2, …, k) и целевой функции y образует поверхность отклика.
Для решения задачи оптимизации, то есть отыскания вектора (10.2), можно применить два принципиально разных подхода:
1 – если известна или есть возможность найти n-факторную математическую модель для той части пространства, где расположен экстремум функции отклика, то задачу оптимизации решают аналитическим или численным методом;
2 – если математическое описание не получено по каким-либо причинам, то осуществляют экспериментальный поиск области оптимума.
В первом случае используют известное из математического анализа свойство функций, имеющих экстремум: в точке экстремума (максимума или минимума) первая производная этой функции обращается в нуль. Если необходимо найти полную производную в n-факторном пространстве, то находят n частных производных по каждому из n факторов и получают систему из n уравнений
∂y/∂x1 = 0;
∂y/∂x2 = 0;
………….. (10.3)
∂y/∂xk-1 = 0;
∂y/∂xk = 0
Решением системы (10.3) и является вектор (10.2). Однако во многих практических случаях аналитическая зависимость (10.1) неизвестна или ее нахождение представляет собой сложную задачу.
Тогда, если имеется возможность одновременно наблюдать все n факторов и целевую функцию, задачу оптимизации проще решить с помощью второго подхода, то есть с помощью экспериментального поиска. Для этого сначала осуществляют изучение характера поверхности отклика в районе первоначально выбранной точки факторного пространства (с помощью специально спланированных «пробных» опытов). Затем совершают «рабочее» движение в сторону экстремума, причем направление движения определяют по результатам пробных опытов. Такое движение может осуществляться путем ряда этапов, которые могут объединяться в «циклы».
После выхода в район экстремума оптимальную точку можно уточнить одним из двух способов:
– постановкой дополнительных, особым образом спланированных, опытов;
– получением математической модели второго или более высокого порядка и последующим решением системы уравнений (6.3).
Задача надежного отыскания экстремума усложняется, если на объект воздействуют случайные помехи. Тогда каждое измеренное (наблюдавшееся) значение целевой функции оказывается суммой истинного ее значения и случайной помехи. Для повышения надежности результатов применяют специальные методы, например в каждой запланированной точке факторного пространства выполняют несколько параллельных опытов.
Если характеристики объекта изменяются, смещаются во времени (дрейф), то это создает дополнительные трудности и приходится создавать специальные планы эксперимента.