9.2 Решение типового примера

Пример Технологический процесс формовки анодной алюминиевой фольги для электролитических конденсаторов является непрерывным вероятностным процессом, эффективность которого оценивается удельной емкостью заформованной фольги y при ограничении по току утечки. К входным величинам относятся: напряжение формовки, концентрация борной кислоты, удельное электрическое сопротивление электролита, температура электролита, кислотность электролита, наличие ионов хлора, наличие гидроокиси, коэффициент травления фольги, скорость протяжки фольги через агрегат.

Требуется построить математическую модель процесса формовки по выходной величине у, учитывая, что постановка активного эксперимента нежелательна.

Решение. На первом этапе исследования была проведена процедура сокращения числа входных величин процесса х_j и выделения наиболее существенных, которые и будут регистрироваться во времени эксперимента.

Для выделения наиболее существенных факторов процесса был применен метод ранговой корреляции. По данным априорного ранжирования были выделены следующие наиболее существенные входные величины (факторы):

х₁ – напряжение формовки,

х₂ – температура электролита,

х₃ –коэффициент травления.

Связь между выходной величиной у и факторами x_j (j=1, п) имеет следующий вид:

y=f(x₁, x₂, х₃). (9.17)

Выходная величина, как показала проверка гипотезы с помощью χ²-критерия Пирсона по реализации случайной величины у, полученной в результате процесса формовки, распределена по нормальному закону: χ²_расч = 7,0258 <χ²_крит = 15,507 при ν=8 степенях свободы и 5%-ном уровне значимости

Так как имеются ограничения на постановку активного эксперимента, то математическая модель была получена методом пассивного эксперимента. По формуле (9.6) определяется приближенное значение времени корреляции ₀ по кривой изменения выходной величины , снятой в режиме нормального функционирования процесса формовки:

Интервал получения данных выбран из условия (9.5) и принят равным t=7 мин, что незначительно больше времени эквивалентного запаздывания _эз = 6,3 мин.

Из табл. 9.1, задаваясь вероятностью Р=0,95, находим параметр =3,68 и с помощью (9.8) определяем общее время наблюдения

Объем выборки при исследовании процесса формовки с целью построения математической модели (9.17) методом пассивного эксперимента равен (9.9)

N=T/t=1030,4/7147.

Принимаем N=150. Для условий проведения пассивного эксперимента (t=7 мин, N= 150) в режиме нормального функционирования процесса формовки получены результаты регистрации N=150 значений входных величин х₁, х₂, х₃ и соответствующих им значений выходной величины в j-е моменты времени с интервалом t=7 мин (табл. 9.2). По этим данным рассчитаны оценки коэффициентов уравнения регрессии и дисперсий , , среднеквадратические отклонения s_y, s_oy, значения t-критерия Стьюдента для соответствующих оценок коэффициентов уравнения регрессии.

Таблица 9.2

l	x1	x2	x3	yэl
1	590	90	19,6	10,8	10,42
2	590	90	19,6	10,00	10,42
3	600	93,7	19,6	9,74	9,61
4	600	93,5	19,6	9,95	9,62
5	600	93,5	19,6	9,4	9,62
6	600	88	22,5	12,61	12,93
7	600	90	22,5	12,10	12,77
8	570	89,5	22,5	13,91	14,34
9	590	94	22,0	12,50	12,47
10	590	92	22,0	12,87	12,53
…	…	…	…	…	…
143	520	76	11,0	6,63	6,59
144	530	76	11,0	6,11	6,07
145	520	88	11,0	5,68	5,63
146	530	88	11,0	5,16	5,11
147	520	88	12,0	6,66	6,61
148	530	88	12,0	6,14	6,09
149	520	76	12,0	7,63	7,64
150	590	76	12,0	7,42	7,64

Так как критическое значение t-критерия, найденное по статистическим таблицам для 5%-ного уровня значимости и числа степеней свободы =N– (n+1) = 143, оказалось меньше расчетных значений для всех коэффициентов уравнения регрессии (t_крит = 1,9759), то они признаны статистически значимыми. Таким образом, математическая модель процесса формовки высоковольтной фольги имеет вид

(9.18)

Оценка адекватности полученной математической модели (9.18) проведена по коэффициенту множественной корреляции, который находится из графика рис. 9.4, для чего был произведен расчет коэффициента γ (9.14) по среднеквадратическим отклонениям s_y и s_oy При γ ⁼⁼2,47> γ_крит=2 коэффициент множественной корреляции R=0,92>0,8, что говорит об адекватности полученной математическом модели (9.18).

Для наглядности в последней графе табл. 9.2 приведены значения выходной величины, полученные по линейному уравнению регрессии (9.18).