8.2 Центральный композиционный рототабельный план (цкрп)
Планирование и проведение эксперимента
При центральном композиционном рототабельном планировании информационная поверхность приближается к сферической, то есть точность Y во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра планирования становится практически одинаковой
S2{Y}→const при R=const.
При этом, ЦКРП позволяет минимизировать ошибки в определении Y, связанные с адекватностью представления результатов исследования процесса имитационной моделью в виде полинома 2-го порядка. Это достигается тем, что, выбирая удаленные от центра плана «звездные точки» на осях координат для непрерывности информационной поверхности, они дополняются информацией из центра плана, представляющей собой сферу с нулевым радиусом, то есть информацией равноточной во всех направлениях. Удельный вес этой информации в общем объеме информации увеличивается, что достигается увеличением числа опытов (N0) в центре плана.
Число опытов в центре плана зависит от числа учитываемых в эксперименте факторов, то есть N0 = f(k).
При k=3 число опытов в центре плана N0=6 совпадает с числом звездных точек. Это приводит к увеличению числа опытов по сравнению с ЦКОП, но обеспечивает непрерывность информационной поверхности и ее идентичность независимо от поворота осей координат.
При реализации рототабельных планов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки воспроизводимости экспериментов, что уменьшает общее число опытов по сравнению с ЦКОП. Дисперсия воспроизводимости может быть оценена в этом случае по экспериментам в центре плана.
Чтобы композиционный план был рототабельным, величина звездного плеча α выбирается из следующих условий:
α=2k/4 при k<5; (8.18)
α=2(k–1)/4 при k≥5. (8.19)
Подсчитанные значения звездного плеча α и число центральных точек N0, в зависимости от числа учитываемых в эксперименте факторов, приведены в таблице 8.4.
Таблица 8.4 – Значения звездного плеча и числа центральных точек ЦКРП
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
α |
1,414 |
1,682 |
2,00 |
2,00 |
2,38 |
2,83 |
N0 |
5 |
6 |
7 |
6 |
9 |
11 |
Для k=3 и соответственно N0=6 выражение (8.1) примет вид:
N=2k+2k+6. (8.20)
Тогда матрица планирования ЦКРП для k=3 будет иметь следующий вид (таблица 8.5).
Из выражения (8.20) следует, что для трех учитываемых в эксперименте факторов X1, X2, X3 в ЦКРП потребуется проведение не менее 20 опытов (таблица 8.5) по сравнению с 15-ю опытами в случае применения ЦКОП (таблица 8.1). Причем, все эти дополнительные пять опытов проводятся в центре плана.
Матрица ЦКРП не соответствует условиям ортогональности для столбцов с квадратичными членами полинома (8.3), поэтому оценка коэффициентов не будет являться независимой. Но этот недостаток ЦКРП компенсируется более высокой точностью определения Y во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра плана. При этом следует учитывать, что ЦКРП использует независимую оценку коэффициентов полинома при линейных его членах, проведенную по результатам предыдущего полного или дробного факторного эксперимента.
Таблица 8.5– Матрица ЦКРП
Группы точек |
Номер опыта |
X0б |
X1б |
X2б |
X3б |
X1бX2б |
X1бX3б |
X2бX3б |
X1бX2бX3б |
X21б |
X22б |
X23б |
Y |
NПФЭ |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y1 |
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y2 |
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y4 |
|
5 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y5 |
|
6 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y6 |
|
7 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y7 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y8 |
|
Nα |
9 |
+1 |
+α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
α2 |
0 |
0 |
Y9 |
10 |
+1 |
–α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
α2 |
0 |
0 |
Y10 |
|
11 |
+1 |
0 |
+α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
α2 |
0 |
Y11 |
|
12 |
+1 |
0 |
–α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
α2 |
0 |
Y12 |
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
+α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
α2 |
Y13 |
|
14 |
+1 |
0 |
0 |
–α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
α2 |
Y14 |
|
N0 |
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Y15 |
16 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Y16 |
|
17 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Y17 |
|
18 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Y18 |
|
19 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Y19 |
|
20 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Y20 |
Обработка и анализ результатов эксперимента
Обработка и анализ результатов ЦКРП отличается от ранее рассмотренных только в подсчете коэффициентов полинома и их дисперсий. Дисперсию воспроизводимости оценивают по экспериментам в центре плана, число которых значительно больше, чем в ЦКОП.
Формулы для расчета коэффициентов полинома и их дисперсий при рототабельном планировании сложнее, чем при ортогональном:
(8.21)
(8.22)
(8.23)
(8.24)
(8.25)
(8.26)
(8.27)
(8.28)
где
Так же, как и при получении линейной модели, обработка результатов при реализации ЦКП предполагает статистические проверки гипотез воспроизводимости результатов экспериментов, значимости коэффициентов и адекватности моделей.
Матрица ЦКРП позволяет минимизировать ошибки в определении Y, связанные с неадекватностью представления результатов исследования полиномом 2-го порядка.
Полученная модель 2-го порядка может быть использована для нахождения оптимальных технологических режимов. При этом ее тщательно анализируют и методами аналитической геометрии приводят к канонической форме.