8.1 Центральный композиционный ортогональный план (цкоп)
Планирование и проведение эксперимента
При составлении матрицы планирования эксперимента этот план предусматривает проведение только одного опыта, условия которого соответствуют начальным значениям всех учитываемых факторов (в центре плана), то есть N0 = 0. Поэтому для ЦКОП выражение (8.1) примет вид
N = 2k + 2k + 1, (8.2)
Соответствующая матрица ЦКОП для имитационной модели исследуемого процесса, соответствующая полиному 2-го порядка при k=3, приведена в таблице 8.1. Условие ортогональности матрицы выполняется только для линейных членов соответствующего полинома 2-го порядка, представляющего собой имитационную модель вида
Y = b0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+ (8.3)
+b23X2X3+b123X1X2X3+b11X21+b22X22+b33X23
Для приведения матрицы к ортогональному виду необходимо провести преобразование квадратичных переменных X2iб.
(8.4)
где
–
преобразованное (п) безразмерное (б)
квадратичное значение i-го
фактора, соответствующее -му
опыту.
Для выполнения условия ортогональности матрицы ЦКОП, помимо преобразования столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома (8.3), и приведения значений, стоящих в них, к виду (8.4), необходимо величину звездного плеча выбирать соответственно:
при k < 5
4+2k2-2k-1(k+0,5)=0; (8.5)
при k 5
4+2k-12-2k-2(k+0,5)=0. (8.6)
Таблица 8.1 – Матрица центрального композиционного ортогонального плана
Группы точек |
Номер опыта |
X0б |
X1б |
X2б |
X3б |
X1бX2б |
X1бX3б |
X2бX3б |
X1бX2бX3б |
X21б |
X22б |
X23б |
Y |
NПФЭ |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y1 |
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y2 |
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y4 |
|
5 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y5 |
|
6 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y6 |
|
7 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y7 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y8 |
|
Nα |
9 |
+1 |
–α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+α2 |
0 |
0 |
Y9 |
10 |
+1 |
+α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+α2 |
0 |
0 |
Y10 |
|
11 |
+1 |
0 |
–α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+α2 |
0 |
Y11 |
|
12 |
+1 |
0 |
+α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+α2 |
0 |
Y12 |
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
–α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+α2 |
Y13 |
|
14 |
+1 |
0 |
0 |
+α |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+α2 |
Y14 |
|
N0 |
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Y15 |
Ядро ЦКОП при k<5 составляет, как правило, ПФЭ типа 2k, а при k5 – ДФЭ типа 2k-1, так как во втором случае полуреплика от ПФЭ вполне обеспечивается возможность независимой оценки линейных членов полинома (8.3) и членов, учитывающих эффект взаимодействия факторов.
Значения звездного плеча, подсчитанные на основании условий (8.5) и (8.6), приведены в таблице 8.2.
Таблица 8.2 – Значения звездного плеча ЦКОП
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1,00 |
1,215 |
1,414 |
1,547 |
1,724 |
1,885 |
Преобразовав соответствующим образом матрицу ЦКОП, приведенную в таблице 8.1, получим матрицу ЦКОП, которая полностью соответствует условию ортогональности (таблица 8.3)
Таблица 8.3 – Преобразованная матрица ЦКОП, отвечающая требованиям ортогональности
Номер опыта |
X0б |
X1б |
X2б |
X3б |
X1бX2б |
X1бX3б |
X2бX3б |
X1бX2бX3б |
X21б |
X22б |
X23б |
Y |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
Y1 |
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
Y2 |
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
Y3 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
Y4 |
5 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
Y5 |
6 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
Y6 |
7 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
Y7 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
Y8 |
9 |
+1 |
–1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,75 |
–0,73 |
–0,73 |
Y9 |
10 |
+1 |
+1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,75 |
–0,73 |
–0,73 |
Y10 |
11 |
+1 |
0 |
–1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–0,73 |
0,75 |
–0,73 |
Y11 |
12 |
+1 |
0 |
+1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–0,73 |
0,75 |
–0,73 |
Y12 |
13 |
+1 |
0 |
0 |
–1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–0,73 |
–0,73 |
0,75 |
Y13 |
14 |
+1 |
0 |
0 |
+1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–0,73 |
–0,73 |
0,75 |
Y14 |
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–0,73 |
–0,73 |
–0,73 |
Y15 |
Для приведенной в таблице 8.3 матрицы ЦКОП будет соответствовать имитационную модель следующего вида
Y = b′0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+b23X2X3+ (8.7)
+b123X1X2X3+b11(X21–
)+b22(X22–
)+b33(X23–
).
Для перехода от модели (8.7) к модели (8.3), необходимо пересчитать коэффициент b0, который будет в (8.3) определяться
b′0=
b′0
– b11
– b22
– b33
или, в общем виде
(8.8)
Если выполняется условие (8.8), можно пользоваться полиномом 2-го порядка в общем виде для проведения эксперимента в соответствии с преобразованной матрицей ЦКОП.
При применении ЦКОП получение идентичной информации во всех направлениях исследуемого пространства невозможно, так как дисперсии ошибок определения коэффициентов полинома различны, то есть точность предсказания выходной величины (значения функции отклика Y) в различных направлениях факторного пространства неодинакова – информационные поверхности не являются сферами.
Обработка и анализ результатов эксперимента
Обработка и анализ результатов для ЦКОП проводятся в том же порядке, как и для ПФЭ, с аналогичными формулами для оценки дисперсий среднего арифметического (6.8) и адекватности (6.14). Исключение составляют формулы для расчета коэффициентов полинома (6.10) и дисперсии их определения (6.12).
В силу ортогональности матрицы ЦКОП все коэффициенты имитационной модели в виде полинома 2-го порядка определяются, как и для ПФЭ, независимо друг от друга. Но если при подсчете коэффициентов в соответствии с (6.10) в знаменателе используется одно и то же значение N (число номеров опытов), то в ЦКОП расчет коэффициентов полинома ведется по формуле
(8.9)
где i = 1,2,…,k.
Это означает, что при определении коэффициентов полинома в соответствии с выражением (8.9) значение знаменателя для различных групп коэффициентов будет различным.
Для непреобразованной матрицы в соответствии с таблицей 8.1 значения знаменателей следующие:
– для b0
– для группы коэффициентов при линейных членах Xi полинома
– для группы коэффициентов XiXj или X1X2X3, учитывающих взаимодействие факторов
– для коэффициентов при квадратичных членах Xi2 полинома
Соответственно формула для расчета дисперсии найденных по (8.9) коэффициентов полинома, будет иметь вид
(8.10)
Расчет дисперсии воспроизводимости эксперимента S2{Y} при оценке дисперсий коэффициентов в (8.10) производится по формуле (6.13).
Из сравнения (8.10) и (6.2) видно, что в ЦКОП дисперсия коэффициентов полинома будет различной для различных групп, в то время, как для линейной модели она постоянна.
Для непреобразованной матрицы оценку дисперсии для всех групп коэффициентов легко получить, учитывая приведенные выше значения знаменателя в (8.9).
Для приведенной матрицы ЦКОП в соответствии с таблицей 8.3 оценка дисперсии различных коэффициентов в общем виде может быть представлена, как
(8.11)
При k<5, когда ЦКОП базируется на ПФЭ типа 2k.
(8.12)
(8.13)
(8.14)
где
При k≥5, когда ЦКОП базируется на ДФЭ типа 2k–1.
(8.15)
(8.16)
(8.17)
С учетом выражений (5.11)–(5.17) значение t-параметра, подсчитанное по (3.11), будет отличаться знаменателем для различных групп коэффициентов полинома. А это означает, что в отличие от линейного приближения, при ортогональном планировании на базе полинома второго порядка оценка значимости найденных коэффициентов полинома ЦКОП будет проводиться с различной точностью. Это означает, что точность определения математической модели исследуемого процесса во всех направлениях факторного пространства не одинакова.
Различие в точности оценок коэффициентов полинома при описании областей, близких к экстремуму, особенно нежелательно, так как при планировании экстремальных экспериментов необходимо иметь высокую точность описания процесса именно в этих областях. В этом случае более удачным является центральное композиционное рототабельное планирование.