5.3 Решение типового примера

Рассмотрим гипотезу о соответствии закона распределения, представленного статистическим рядом в таблице 5.4, гауссовскому закону распределения. Распределение, полученное по результатам наблюдений, разбито в таблице 5.4 на 12 интервалов. Первые три и последние два интервала объединим для того, чтобы экспериментальные частоты получились больше 5. Таким образом, число интервалов станет равным 9. Значения экспериментальных и теоретических частот, подсчитанных исходя из гауссовского закона распределения, приведены в таблице 5.5.

Подставив значения n_i и в выражение (5.10), получим χ²=7,52. Число степеней свободы в соответствии с ν=K–d–1 равно 6. По таблице А5 приложения А находим P=0,25. Следовательно, распределение значений напряжения пробоя, приведенных в таблице 5.5, близко к гауссовскому.

Таблица 5.5 – Интервальный ряд распределения пробивных напряжений диэлектрических слоев 160 однотипных МОП-структур

Интервал измерений	Середина интервала Xi	Частота ni	Относительная частота ωi, %	Накопленная частота ∑ni	Относительная накопленная частота ∑ωi, %
176,5-179,4	178	1	0,6	1	0,6
179,5-182,4	181	3	1,9	4	2,5
182,5-185,4	184	5	3,1	9	5,6
185,5-188,4	187	21	13,1	30	18,1
188,5-191,4	190	16	10,0	46	28,7
191,5-194,4	193	29	18,1	75	46,8
194,5-197,4	196	31	19,4	106	66,2
197,5-200,4	199	21	13,1	127	79,3
200,5-203,4	202	18	11,4	145	90,7
203,5-206,4	205	9	5,6	154	96,3
206,5-209,4	208	5	3,1	159	99,4
209,5-212,4	211	1	0,6	160	100,0

Таблица 5.6 – Значения экспериментальных и теоретических частот

ni	9=1+3+5	21	16	29	31	21	18	6	6=5+1
	11,6=1,0+ +3,7+6,9	13,4	21,6	28,0	29,3	24,6	16,8	9,3	5,6=4,2+ +1,4

Пример Для иллюстрации применения метода случайного баланса рассмотрим процедуру выявления факторов, оказывающих наиболее сильное влияние на свойства резистивных пленок вольфрама.

Программа эксперимента охватывает следующие факторы технологического процесса:

X₁ – давление в камере при осаждении пленки;

X₂ – температура испарения;

X₃ – температура подложки в процессе осаждения пленки;

X₄ – расстояние испаритель–подложка;

X₅ – температура подложки при термообработке;

X₆ – давление в камере при термообработке;

X₇ – продолжительность термообработки;

X₈ – температура подложки при напуске воздуха;

X₉ – длительность хранения очищенной подложки перед установкой в камеру;

X₁₀ – длительность прогрева испаряемого материала;

X₁₁ – длительность прогрева подложки;

X₁₂ – температура прогрева подложки;

X₁₃ – продолжительность хранения подложки с резистивной пленкой до защиты слоем диэлектрика.

Кроме того, в программе исследований учитываются также 48 эффектов взаимодействия, потенциально способных оказывать влияние на функцию отклика процесса получения пленок вольфрама (стабильность пленок ΔR/R, %, во времени).

При составлении матрицы планирования (таблица 5.7) все линейные эффекты разбиваются на четыре группы в соответствии с физикой процесса: 1) X₁ … X₄; 2) X₅ … X₈; 1) X₉ … X₁₂; 1) X₁₃.

Для каждой группы берется матрица ПФЭ типа 2⁴. Нет необходимости строить матрицу ПФЭ для каждой группы, достаточно построить матрицу для самой многочисленной группы, чтобы она была общей для всех остальных групп. Строки общей матрицы планирования получаются путем смешивания строк групповых планов с помощью таблицы случайных чисел.

После реализации матрицы планирования строятся диаграммы рассеивания для линейных эффектов (рисунок 5.3). Наибольшие вклады имеют факторы X₂ , X₃ ,X₅ . Для их количественной оценки служит вспомогательная таблица 5.8.

С помощью таблицы 5.8 вычислим коэффициенты при соответствующих факторах:

Коэффициент меньше (по абсолютной величине) коэффициентов и , поэтому можно исключить фактор X₂ из дальнейшей корректировки результатов эксперимента и результаты корректировать только по факторам X₃ и X₅.

Таблица 5.7 – Матрица планирования отсеивающих экспериментов

при исследовании резистивных пленок вольфрама

Номер опыта

X1 X5 X9 X13

X2 X6 X10

X3 X7 X11

X4 X8 X12

Порядок проведения опытов по группам

Условия проведения эксперимента

Выходной параметр

I группа

II группа

III группа

IV группа

I группа

II группа

III группа

IV группа

(ΔR/R, %,)

X1б

X2б

X3б

X4б

X5б

X6б

X7б

X8б

X9б

X10б

X11б

X12б

X13б

1

–

–

–

–

10

7

6

8

+

–

–

+

–

+

+

–

+

–

+

–

+

2,2

2

+

–

–

–

6

3

9

3

+

–

+

–

–

+

–

–

–

–

–

+

–

1,9

3

–

+

–

–

3

13

16

4

–

+

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

+

2,9

4

+

+

–

–

16

16

15

1

+

+

+

+

+

+

+

+

–

–

+

+

–

0,7

5

–

–

+

–

12

2

4

9

+

+

–

+

+

–

–

–

+

+

–

–

–

2,4

6

+

–

+

–

15

9

3

8

–

+

+

+

–

–

–

+

–

+

–

–

+

1,3

7

–

+

+

–

14

2

16

16

+

–

+

+

+

–

–

–

+

+

+

+

+

1,3

8

+

+

+

–

1

16

3

4

–

–

–

–

+

+

+

+

–

+

–

–

+

2,0

9

–

–

–

+

5

6

9

1

–

–

+

–

+

–

+

–

–

–

–

+

–

1,3

10

+

–

–

+

9

12

10

9

–

–

–

+

+

+

–

+

+

–

–

+

–

2,2

11

–

+

–

+

7

13

10

7

–

+

+

–

–

–

+

+

+

–

–

+

–

1,2

12

+

+

–

+

13

7

4

8

–

–

+

+

–

+

+

–

+

+

–

–

+

2,1

13

–

–

+

+

2

9

15

9

+

–

–

–

–

–

–

+

–

+

+

+

–

2,5

14

+

–

+

+

8

12

6

12

+

+

+

–

+

+

–

+

+

–

+

–

+

0,6

15

–

+

+

+

4

3

5

11

+

+

–

–

–

–

–

–

–

–

+

–

–

2,8

16

+

+

+

+

11

6

5

6

–

+

–

+

+

–

+

–

–

–

+

–

+

1,2

3

2,5

2

1,5

1

0,5

+ – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + –

X₁ X₂ X₃ X₄ X₅ X₆ X₇ X₈ X₉ X₁₀ X₁₁ X₁₂ X₁₃

Рисунок 5.3 - Диаграмма рассеивания результатов наблюдений на первом этапе отсеивающего эксперимента при исследовании резистивных пленок вольфрама

Таблица 5.8 – Таблица для количественной оценки факторов

Входы таблицы
		0,7; 0,6 =0,65	2,4; 1,2 =1,8
		1,3; 1,2 =1,25	2,9; 2,8 =2,85
		1,3; 1,3 =1,3	2,0; 2,2 =2,1
		1,9; 2,1 =2,0	2,2; 2,5 =2,35

Учитывая, что корректировка экспериментальных данных должна проводиться только по одному уровню варьирования факторов X₃ и X₅, выбираем из таблицы 5.7 только те средние значения функции отклика , которые соответствуют верхнему уровню безразмерных значений этих факторов, и производим их корректировку. Тогда получим следующие скорректированные значения функции отклика:

По скорректированным данным и оставшимся нескорректированным значениям (таблица 5.6) вновь строим диаграммы рассеивания, но уже не только для линейных эффектов, но и для эффектов влияния их взаимодействия.

В данном случае имеют смысл 48 различных взаимодействий, но в первую очередь нас интересуют взаимодействия выделенных на первом этапе значимых факторов, хотя могут вызывать опасения влияния взаимодействий и ряда других факторов, например, X₂, X₆, X₉, X₁₀ и X₁₂.

При решении вопроса, для каких эффектов взаимодействий факторов следует на втором этапе строить диаграммы рассеяния, можно воспользоваться следующими рекомендациями.

При учете влияния взаимодействия факторов можно воспользоваться анализом скорректированных диаграмм для линейных эффектов. В первую очередь исследователя интересуют те факторы, которые имеют выделяющиеся точки на диаграмме рассеяния, находящиеся на самом высоком (выше верхнего медианного значения) и самом низком (ниже нижнего медианного значения) уровнях.

Эффект взаимодействия двух факторов будет представлять интерес в том случае, если эти выделяющиеся точки, находящиеся, например, на самом высоком уровне, будут представлять собою зеркальное отображение для рассматриваемых факторов, то есть значения функции отклика, представленные этими точками на диаграмме рассеяния, будут равны по абсолютной величине, но иметь противоположные знаки. И, наоборот, нижние точки у взаимодействующих факторов будут выделяться, если они представлены значениями функции отклика, равными по абсолютной величине и имеющими одинаковый знак, то есть положение самых нижних точек у рассматриваемых факторов одинаково. Такое расположение точек (зеркальное и повторное) на диаграмме рассеяния для линейных эффектов характеризует наибольший вклад взаимодействия соответствующих факторов. При этом каждый из этих факторов в отдельности может иметь меньший вклад по диаграмме рассеивания, чем их взаимодействия.

Оценка выделенных здесь эффектов дала следующие результаты:

Принимаем решение считать данные эффекты существенными, чтобы не пропустить возможно важный фактор X₂, и проведем соответствующую корректировку результатов 2-го этапа отсеивающего эксперимента. По скорректированным результатам вновь построим диаграмму.

Анализ данной диаграммы рассеивания и оценка наиболее сильного эффекта X₁X₂ по критерию Стьюдента позволяют сделать вывод, что оставшиеся эффекты могут быть отнесены к «шумовому полю».