4.5 Контрольные вопросы

1. Какого типа практические задачи обычно решают методом дисперсионного анализа?

2. Как математически формулируется задача однофакторного дисперсионного анализа?

3. В чем заключается основная идея метода дисперсионного анализа?

4. Каким образом производится оценивание существенности влияния фактора в однофакторном дисперсионном анализе?

5. Как производится оценивание влияния двух факторов и их взаимодействий в двухфакторном дисперсионном анализе?

Практическое занятие № 5

5. Методы насыщенных и сверхнасыщенных планов

При исследовании сложных процессов исследователю приходится иметь дело с большим количеством факторов, которые способны оказать влияние на функцию отклика исследуемого процесса. Для первоначального построение «грубой модели» процесса желательно оставить только те факторы, которые оказывают сравнительно существенное влияние на функцию отклика, отбросив на первом этапе факторы, оказывающие незначительное влияние. Это можно сделать с помощью насыщенных и сверхнасыщенных планов.

5.1 Метод насыщенных планов

Насыщенные планы – планы, для которых число степеней свободы равно

N–k=1, (5.1)

то есть число вариантов условий проведения эксперимента (число номеров опытов) должно быть на единицу больше число рассматриваемых факторов.

Необходимым условием применения насыщенных планов является отсутствие влияния эффекта взаимодействия факторов на функцию отклика исследуемого процесса. Соблюдение этого условия основано на предпосылке, что на выходной параметр исследуемого процесса оказывают влияние лишь линейные эффекты и не влияют взаимодействия факторов.

При этом используют дробные реплики ПФЭ, стремясь к тому, чтобы все экспериментальные данные, полученные при N условий проведения эксперимента, были бы использованы для оценки коэффициентов при соответствующих переменных.

Если предполагается, что на функцию отклика исследуемого процесса способны оказывать влияние 15 факторов, то для отсеивания несущественных или оказывающих незначительное влияние факторов может быть использован ДФЭ типа 2^15-11 с числом различных условий эксперимента (минимальным числом опытов) N=16. Условие (5.1) в этом случае выполняется, так как N–k=16-15=1.

Число опытов N=16 предусматривает применение ПФЭ типа 2⁴. Полином первого порядка в этом случае имеет следующий вид:

Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+b₁₂X₁X₂+b₁₃X₁X₃+

+b₁₄X₁X₄+b₂₃X₂X₃+b₂₄X₂X₄+b₃₄X₃X₄+b₁₂₃X₁X₂X₃+ (5.2)

+b₁₂₄X₁X₂X₄+b₁₃₄X₁X₃X₄+b₂₃₄X₂X₃X₄+b₁₂₃₄X₁X₂X₃X₄.

Из приведенного полинома 1-го порядка (5.2) видно, что имеется 15 коэффициентов (без учета коэффициента b₀). Поэтому, заменяя все члены полинома (5.2), учитывающие эффект влияния взаимодействия ранее выбранных четырех из пятнадцати рассматриваемых факторов, на одиннадцать оставшихся, получаем полином 1-го порядка с пятнадцатью факторами:

Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+b₅X₅+b₆X₆+b₇X₇+b₈X₈+

+b₉X₉+b₁₀X₁₀+b₁₁X₁₁+b₁₂X₁₂+b₁₃X₁₃+b₁₄X₁₄+b₁₅X₁₅. (5.3)

В (5.3) имеем дело не с ПФЭ типа 2⁴, а с ДФЭ типа 2^15-11, на основании которого можно оценить все пятнадцать коэффициентов b₁, b₂, b₃,…, b₁₅.

X₅=X₁X₂X₃X₄; X₁₀=X₁X₂;

X₆=X₁X₂X₃; X₁₁=X₁X₃;

X₇=X₁X₃X₄; X₁₂=X₁X₄;

X₈=X₁X₂X₄; X₁₃=X₂X₃;

X₉=X₂X₃X₄; X₁₄=X₂X₄;

X₁₅=X₃X₄.

Проведя соответствующую замену в матрице ПФЭ типа 2⁴ при использовании значений рассматриваемых в эксперименте 15-ти факторов, получим матрицу ДФЭ типа 2^15-11 (таблица 5.1). После проведения экспериментов производится вычисление коэффициентов по формуле (5.10).

Таблица 5.1 – Матрица насыщенного планирования

Номер опыта

X0б

X1б

X2б

X3б

X4б

X5б

X6б

X7б

X8б

X9б

X10б

X11б

X12б

X13б

X14б

X15б

1

+

–

–

–

–

+

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

2

+

+

–

–

–

–

+

+

+

–

–

–

–

+

+

+

3

+

–

+

–

–

–

+

+

+

+

–

+

+

–

–

+

4

+

+

+

–

–

+

–

–

+

+

+

–

–

–

–

+

5

+

–

–

+

–

–

+

–

+

+

+

–

+

–

+

–

6

+

+

–

+

–

+

–

+

–

+

–

+

–

–

+

–

7

+

–

+

+

–

+

–

+

+

–

–

–

+

+

–

–

8

+

+

+

+

–

–

+

–

–

–

+

+

–

+

–

–

9

+

–

–

–

+

–

–

+

+

+

+

+

–

+

–

–

10

+

+

–

–

+

+

+

–

–

+

–

–

+

+

–

–

11

+

–

+

–

+

+

+

–

+

–

–

+

–

–

+

–

12

+

+

+

–

+

–

–

+

–

–

+

–

+

–

+

–

13

+

–

–

+

+

+

+

+

–

–

+

–

–

–

–

+

14

+

+

–

+

+

–

–

–

+

–

–

+

+

–

–

+

15

+

–

+

+

+

–

–

–

–

+

–

–

–

+

+

+

16

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Факторы, при которых коэффициенты в результате проведенной оценки по критерию Стьюдента оказались незначимыми, отбрасываются. На первых этапах исследования, когда создается «грубая» модель исследуемого процесса, допускается отсеивание несущественных факторов, исходя из значений полученных коэффициентов.

Если рассматривать процесс с числом факторов k=17, то число опытов ПФЭ типа 2⁴ будет недостаточным. Ближайшее минимальное число опытов можно получить с помощью ПФЭ типа 2⁵, которое составляет N=32. Число опытов в данном случае значительно превышает число учитываемых в эксперименте факторов, но облегчается замена эффектов взаимодействия на линейные эффекты. Все линейные эффекты могут быть введены в план вместо эффектов взаимодействия более высокого порядка, чем парные (по сравнению с k=15), а следовательно, менее значимыми с точки зрения их влияния на функцию отклика. Действительно,

X₆=X₁X₂X₃X₄X₅; X₇=X₁X₂X₃X₄; X₈=X₁X₃X₄X₅;

X₉=X₁X₂X₄X₅; X₁₀=X₂X₃X₄X₅; X₁₁=X₁X₂X₃;

X₁₂=X₁X₃X₄; X₁₃=X₁X₄X₅; X₁₄=X₁X₃X₅;

X₁₅=X₂X₃X₄; X₁₆=X₂X₄X₅; X₁₇=X₂X₃X₅.

Однако объем экспериментальной работы в данном случае увеличится не пропорционально увеличению числа рассматриваемых факторов, в отличие от предыдущего случая.

При k=9; 17; 33 и т.д. использование дробных реплик от ПФЭ ведет к значительному увеличению числа опытов соответственно N=16; 32; 64 и т.д. Для того, чтобы увеличить насыщенность планов, разработаны ортогональные планы с N=12; 20; 24; 36 и т.д. Однако применение метода насыщенных планов для исследования сложных процессов ограничено, так как эффект влияния взаимодействия факторов на выходной параметр может быть значительным.