Жауабы: 14

2 Үшбұрыштар теңдігінің белгілері

2.1 Үшбұрыштар теңдігінің і, іі белгілері

Теорема, 1. (І белгі).

Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Дәлелдеуі:

және болатындай АВС және үшбұрыштары берілген.

теңдігін дәлелдейік.

болғандықтан, төбесі А төбесімен, ал және қабырғалары сәйкес АВ және АС сәулелерінде жататындай етіп, бұрышын САВ бұрышына беттестіруге болады. Берілген үшбұрышқа тең үшбұрыштың бар болатыны жөніндегі аксиома бойынша мұндай үйлестіру мүмкін және ол бір ғана түрде анықталады.

Ал болғандықтан, қабырғасы АВ қабырғасымен және қабырғасы АС қабырғасымен беттеседі, яғни және В, және С нүктелері беттеседі.

Олай болса, және АВС үшбұрыштары толық беттеседі. Онда бұл үшбұрыштар тең. Дәлелденген теорема үшбұрыштардың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша теңдік белгісі болып табылады.

Теорема, 2. (ІІ белгі).

Егер үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Дәделдеуі.

, және болатындай АВС және үшбұрыштары берілсін. теңдігін дәлелдейік.

болғандықтан, төбесі А төбесімен беттесетіндей етіп, қабырғасы АВ сәулесінде жататындай етіп, АВ түзуіне қатысты С және төбелері бір жарты жазықтықта жататындай етіп, үшбұрышын АВС үшбұрышымен беттестіреміз. болғандықтан В төбесі төбесімен беттеседі. және болғандықтан, сәулесі АС сәулесімен, ал сәулесі ВС сәулесімен беттеседі.

Онда төбесі С төбесімен беттеседі. Сонымен, АВС және үшбұрыштары толық беттеседі, яғни . Бұл теорема үшбұрыштардың бір қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышы бойынша теңдік белгісі деп аталады.

1-мысал. АВ және CD кесінділері әрқайсысының ортасы болатын О нүктесінде қиылысады. Егер болса, онда ВD-ны табайық.

Шешуі: ОD болғандықтан, үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша ОD, себебі Сондықтан ВD

2.2 Үшбұрыштар теңдігінің белгілерін оқыту әдістемесі

Үшбұрыштар теңдігінің белгілерін оқыту барысында оқушылардың үшбұрыштар теңдігін дәлелдей білу, тең үшбұрыштардың сәйкес келетін үш элементін бөліп көрсете білу қабілетін дамыту қажетті.

7-сынып геометриясында үшбұрыштар теңдігі тақырыбы өзекті мәселелердің бірі, өйткені бұдан былай үшбұрыштар теңдігі белгілерін қолдану есептерді шығарудың негізгі тәсіліне айналады. Сондықтан теоремаларды дәлелдеуді жете меңгеру үшін, оларды дәлелдеуді қысқаша жоспарлармен орындаған тиімді.

Мысалы, үшбұрыштар теңдігінің І белгісін дәлелдеуді мына схема бойынша орындаған тиімді:

1. Берілген үшбұрышқа тең үшбұрыштың бар боуы жөніндегі аксиома бойынша болатындай үшбұрышы табылады;

2. Кесінді мен бұрышты өлшеп салуаксиомасы бойынша мен нүктелері, мен нүктелері беттеседі.

3. Қорытынды:

Анықтама:Үшбұрыштың төбесін оған қарсы жатқан қабырғасының ортасымен қосатын кесіндіні оның медианасы деп атайды.

Үшбұрыштың медианаларын жүргізілген қабырғасына байланысты деп белгілейді. М нүктесі с қабырғасының ортасы болса, ВМ кесіндісі В төбесінен жүргізілген медиана

Анықтама:Үшбұрыш бұрышының биссектрисасының қарсы қабырғаға дейінгі кесіндісі, оның осы бұрышының биссектрисасы деп аталады.

Үшбұрыштың биссектрисаларын жүргізілген қабырғасына байланысты деп белгілеуге болады (2-сурет).

(2-сурет)

АВС үшбұрышының В бұрышының биссектрисасының ВЕ кесіндісі үшбұрыштың биссектрисасы болады ( =ВЕ).

Анықтама:Үшбұрыштың төбесінен қарсы жатқан қабырғаны қамтитын түзуге түсірілген перпендикуляр кесіндіні оның биіктігі деп атайды.

Үшбұрыштың биіктіктерін түсірілген қабырғаға қатысты деп белгілеу келісілген (3-сурет).

(3-сурет)

ВD - биіктік, себебі ол В төбесінен АС қабырғасына түсірілген перпендикуляр, .

Планиметриялық есептерді үшбұрыштың элементтерінің арасындағы негізгі метрикалық қатынастарды пайдаланып шығару – қарапайым есептерді шешу түріне жатады. -ны қарастырайық, келесі белгілеулерді енгізейік:

В

а

Е Д

0

в

А С

-ға сырттай сызыләан шеңбердің радиусы, r - іштей сызылған шеңбердің радиусы, қабырғасына түсірілген биіктік, -ның ауданы.

Сонда,

1. (синустар теоремасы)

2. (конустар теоремасы)

3.

4. (Герон формуласы)

5.

ң биссектрисасының қасиеті: Үшбұрыштың бұрыштың биссектрисасы қарсы жатқан қабырғаны іргелес жатқан қабырғаларға пропорциялар кесінділерге бөледі.

В

А С

Д

Үшбұрыштың медианаларының формуласы косинустар теоремасының көмегімен алуға болады.

В

Д

m

А С

,

1) дан косинустар теоремасы бойынша:

;

2) дан:

1. мен 2)-ні қосып, ны табамыз:

Теорема. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады және қиылысу нүктесі үшбұрыш төбесінен. Есептегенде 2 : 1 болады. Қиылысу нүктесін оның ауырлық центрі деп атайды.

Параллель түзулер бұрыштың қабырғаның пропорционал кесінділерге бөледі.

Теорема. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы оның іргелес емес екі бұрышының қосындысына тең.

Анықтама. Үшбұрыштың биіктіктері бір нүктеде қиылысады, оны үшбұрыштың орт центірі деп атайды.

Үшбұрыштың ауданы туралы теоремалар.

В₁ В

А₁ Н₁ С₁ А Н С

Екі үшбұрышты қарастырайық: және

Начало формы

1. Егер екі үшбұрыш ұқсас болса, онда болады.

Конец формы