Электромагнитные колебания, законы и формулы

Гармонические колебания.

Гармонические колебания происходят по синусоидальному (или косинусоидальному) закону и характеризуются тремя величинами: частотой (или периодом), амплитудой и фазой:

Свободные колебания.

Свободные колебания не затухают, следовательно, они возникают в системах без потерь (трения, сопротивления и т.п.).

Преобразование энергии в колебательном контуре:

Частота собственных колебаний контура:

Уравнения колебаний заряда и силы тока:

Затухающие колебания.

Колебания в системах с трением (сопротивлением) затухают и не являются гармоническими. Скорость затухания зависит от величины трения (сопротивления).

Автоколебания.

Гармонические колебания, возникающие в системе под действием непериодической силы, длящиеся сколь угодно долго, называют автоколебаниями. К ним применимы все понятия, которые описывают гармонические колебания.

Вынужденные электромагнитные колебания.

Вынужденными называют электромагнитные колебания в системе, возникающие под действием периодически меняющегося напряжения.

Переменный ток.

Переменный ток - вынужденные электромагнитные колебания. Промышленная частота переменного тока у нас в стране ν = 50 Гц, в Америке = 60 Гц.

Мощность переменного тока:

cos φ - коэффициент мощности, φ - угол между направлениями тока и напряжения.

Действующие (эффективные) значения:

;

Закон Джоуля-Ленца для переменного тока:

Ёмкостное сопротивление.

Ёмкостным сопротивлением X_C называют сопротивление, оказываемое переменному току электрическим полем конденсатора:

Индуктивное сопротивление.

Индуктивным сопротивлением X_L называют сопротивление, оказываемое переменному току индуктивным электрическим полем катушки:

На ёмкостном и индуктивном сопротивлениях нет необратимых потерь энергии.

Фазовые соотношения в цепи переменного тока.

Ток на активном сопротивлении:

Ток на ёмкостном сопротивлении:

Ток на индуктивном сопротивлении:

Полное сопротивление цепи переменного тока:

Трансформатор.

Соотношение токов в первичной I_перв и вторичной I_втор обмотках трансформатора без потерь обратно соотношению соответствующих напряжений:

Резонанс в последовательном и параллельном контурах.

Резонанс в последовательном и параллельном контурах наступает при выполнении условия X_L = X_C. При этом

Электромагнитные колебания

При электромагнитных колебаниях в колебательной системе происходят периодические изменения физических величин, связанных с изменениями электрического и магнитного полей . Простейшей колебательной системой такого типа является колебательный контур, то есть цепь, содержащая индуктивность и емкость.

Благодаря явлению самоиндукции в такой цепи возникают колебания заряда на обкладках конденсатора, силы тока, напряженностей электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки, энергии этих полей и т.д. При этом математическое описание колебаний оказывается полностью аналогичным рассмотренному выше описанию механических колебаний. Приведем таблицу физических величин, являющихся взаимными аналогами при сравнении двух типов колебаний.

 

Механические колебания пружинного маятника	Электромагнитные колебания в колебательном контуре
m – масса маятника	L – индуктивность катушки
k – жесткость пружины	– величина, обратная емкости конденсатора.
r – коэффициент сопротивления среды	R – активное сопротивление контура
x – координата маятника	q – заряд конденсатора
u – скорость маятника	i – cила тока в контуре
Ер – потенциальная энергия маятника	WE – энергия электр. поля контура
Ек – кинетическая энергия маятника	WH – энергия магнит. поля контура
Fm – амплитуда внешней силы при вынужденных колебаниях	Em – амплитуда вынуждающей ЭДС при вынужденных колебаниях

Таким образом, все математические соотношения, приведенные выше, можно перенести на электромагнитные колебания в контуре, заменив все величины на их аналоги. Например, сравним формулы для периодов собственных колебаний:

 

– маятник,

– контур. (28)

Налицо их полная идентичность.

 

1.2. Волны

 

Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от физической природы процесса волны делятся на механические (упругие, звуковые, ударные, волны на поверхности жидкости и т. д.) и электромагнитные.

В зависимости от направления колебаний волны бывают продольные и поперечные. В продольной волне колебания происходят вдоль направления распространения волны, а в поперечной – перпендикулярно этому направлению.

Механические волны распространяются в некоторой среде (твердой, жидкой или газообразной). Электромагнитные волны могут распространяться и в пустоте.

Несмотря на разную природу волн, их математическое описание практически одинаково, подобно тому, как механические и электромагнитные колебания описываются уравнениями одинакового вида.

 

Механические волны

 

Приведем основные понятия и характеристики волн.

x – обобщенная координата – любая величина, совершающая колебания при распространении волны (например, смещение точки от положения равновесия).

l – длина волны – наименьшее расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2p (расстояние, на которое волна распространяется за один период колебаний):

l = uT , (29)

где u – фазовая скорость волны, T – период колебаний.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени (передняя волновая поверхность).

В зависимости от формы волновых поверхностей волны бывают плоские, сферические и т. п.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, имеет вид

 

x_(х,t) = x_mcos(wt – kx) , (30)

где – волновое число.

 

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении:

, (31)

 

где – волновой вектор, направленный по нормали к волновой поверхности.

Уравнением сферической волны будет

, (32)

из чего видно, что амплитуда сферической волны убывает по закону 1/r.

Фазовая скорость волны, т.е. скорость, с которой движутся волновые поверхности, зависит от свойств среды, в которой распространяется волна

– (33)

фазовая скорость упругой волны в газе, где g – коэффициент Пуассона, m – молярная масса газа, T – температура, R – универсальная газовая постоянная.

 

– (34)

фазовая скорость продольной упругой волны в твердом теле, где E – модуль Юнга,

r – плотность вещества.

 

– (35)

фазовая скорость поперечной упругой волны в твердом теле, где G – модуль сдвига.

Волна, распространяясь в пространстве, переносит энергию. Количество энергии, переносимой волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф. Для характеристики переноса энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии . Она равна потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространению волны, а по направлению совпадает с направлением фазовой скорости волны.

, (36)

где w – объемная плотность энергии волны в данной точке.

Вектор иначе называется вектором Умова.

Среднее по времени значение модуля вектора Умова называется интенсивностью волны I.

I = < j > . (37)

 

Электромагнитные волны

 

Электромагнитная волна – процесс распространения в пространстве электромагнитного поля. Как говорилось ранее, математическое описание электромагнитных волн аналогично описанию механических волн, таким образом, необходимые уравнения можно получить, заменив в формулах (30) – (33) x на или , где –напряженности электрического и магнитного полей. Например, уравнения плоской электромагнитной волны выглядят следующим образом:

 

. (38)

 

Волна, описываемая уравнениями (38), показана на рис. 5.

Как видно, векторы и образуют с вектором правовинтовую систему. Колебания этих векторов происходят в одинаковой фазе. В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света С = 3×10⁸ м/с. В веществе фазовая скорость

Рис. 5

электромагнитной волны равна , (39) где e – относительная диэлектрическая проницаемость, m – относительная магнитная проницаемость вещества.

Величина называется при этом абсолютным показателем преломления вещества. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны носит название вектора Пойнтинга . В соответствии с равенством (36 )

, где w – плотность энергии электромагнитной волны. Кроме того, вектор можно представить в виде: , (40)

а интенсивность электромагнитной волны в соответствии с (37)

I = < S > (41)

Электромагнитная волна, падая на вещество, оказывает на него давление, которое выражается формулой P = <w>(1+r) , (42)

где r – коэффициент отражения.

 

Волновая оптика

 

Волновая оптика рассматривает круг явлений, связанных с распространением света, которые можно объяснить, представляя свет как электромагнитную волну.

Основное понятие волновой оптики – световая волна. Под световой волной понимают электрическую составляющую электромагнитной волны, длина волны которой в вакууме l₀ лежит в пределах 400 – 700 нм. Такие волны воспринимает человеческий глаз. Уравнение плоской световой волны можно представить в виде

 

E = Acos(wt – kx + a₀) , (43)

 

где А – принятое обозначение амплитуды светового вектора Е, a₀ – начальная фаза (фаза при t = 0, x = 0).

В среде с показателем преломления n фазовая скорость световой волны равна u = c/n, а длина волны l = l₀/n . (44)

Интенсивность световой волны, как следует из (41), определяется средним значением вектора Пойнтинга I = < S >, и можно показать, что

I ~ A² , (45)

т.е. пропорциональна квадрату амплитуды световой волны.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

1. Свободные электромагнитные колебания.

2. Апериодический разряд конденсатора. Постоянная времени. Зарядка конденсатора.

3. Электрический импульс и импульсный ток.

4. Импульсная электротерапия.

5. Основные понятия и формулы.

6. Задачи.