32.6. Основные понятия и формулы

Продолжение таблицы

Окончание таблицы

32.7. Задачи

1. Почему в медицинских рентгеновских трубках пучок электронов ударяет в одну точку антикатода, а не падает на него широким пучком?

Ответ: чтобы получить точечный источник рентгеновских лучей, дающий на экране резкие очертания просвечиваемых предметов.

2. Найти границу тормозного рентгеновского излучения (частоту и длину волны) для напряжений U₁ = 2 кВ и U₂ = 20 кВ.

4. Для защиты от рентгеновского излучения используются свинцовые экраны. Линейный показатель поглощения рентгеновского излучения в свинце равен 52 см^-1. Какова должна быть толщина экранирующего слоя свинца, чтобы он уменьшил интенсивность рентгеновского излучения в 30 раз?

5. Найти поток излучения рентгеновской трубки при U = 50 кВ, I = 1мА. Анод изготовлен из вольфрама (Z = 74). Найти КПД трубки.

6. Для рентгенодиагностики мягких тканей применяют контрастные вещества. Например, желудок и кишечник заполняют массой сульфата бария (ВаSО₄). Сравнить массовые коэффициенты ослабления сульфата бария и мягких тканей (воды).

7. Что даст более густую тень на экране рентгеновской установки: алюминий (Z = 13, ρ = 2,7 г/см³) или такой же слой меди (Z = 29, ρ = 8,9 г/см³)?

8. Во сколько раз толщина слоя алюминия больше толщины слоя меди, если слои ослабляют рентгеновское излучение одинаково?

История открытия рентгеновского излучения

В 1895 году Вильгельм Рентген сделал открытие, которое стало важной вехой в истории науки и, особенно, медицины. Рентген открыл новый вид излучения, которому дал название Х-лучи.

Это открытие было подготовлено наличием вакуумных (катодных) трубок Крукса (1879) и флюоресцентных экранов (1878). Дело было, если можно так сказать, за "счастливой случайностью", которая и явилась в лице Рентгена.

8 ноября 1895 года в лаборатории физического института Вюрцбургского университета профессор Вильгельм Конрад Рентген собственными глазами увидел как на картоне, покрытом флюоресцентным химическим составом (кристаллы платиноцианата бария) на слабо освещённой поверхности тёмную линию тени. В этом не было бы ничего необычного, если бы дело не происходило в хорошо затемнённой комнате, а единственный источник света (катодная трубка) не был тщательно прикрыт экраном из чёрного картона, непроницаемого для всех известных лучей, даже самых ярких..

Поскольку до включения катодной трубки никакого света не было, Рентген предположил, что трубка испускает некие неизвестные лучи, которые и заставляют экран светиться. Он поместил свою руку между предполагаемым источником и светящимся экраном и увидел на нём кости руки в виде силуэта. Открытие состоялось! Дальше, как говорится, было делом техники, которой Рентгену было не занимать.

Уже 22 декабря 1895 года Рентген сделал первый в истории снимок "сквозь живую плоть".  Для этого он использовал руку своей собственной жены Берты. На рис.1 приведена эта фотография в Х-лучах руки с кольцом на пальце. Дата снимка нацарапана в правом верхнем углу. Вот увеличенный фрагмент этого  исторического снимка с датой съёмки.	Рис.1
Редкое научное открытие вызывало такую бурю страстей. Буквально в считанные недели известие о нём облетело весь мир. В первый же год рентгеновским лучам (как их стали называть) было посвящено более полусотни книг и около тысячи статей.

В 1901 году Вильгельму Рентгену за открытие Х-лучей была присуждена первая в истории Нобелевская премия по физике.

Список объектов, сфотографированных в рентгеновских лучах в первый же год после их открытия включал много любопытных вещей: мины-ловушки, пищеварительная система собаки, египетские мумии, металлические отливки, пишущие машинки, земноводные и многое другое. Но главное, это рентгенограммы человеческого тела: зубов, камней в печени, сломанных конечностей и так далее.

Рис. 2

Были, конечно, и курьёзы с современной точки зрения. Так в апреле 1897 года в Нью-Йорке У.Мортоном был получен рентгеновский снимок человеческого тела в полный рост за одну экспозицию на плёнке формата 2 х 1 м с расстояния в 1,5 м от катодной трубки.  На фотографии (рис.2), взятой из нью-йоркского журнала Electrical Engineer, изображена 30-летняя женщина в полном облачении: отчётливо видны шляпная булавка, ожерелье, браслет, кольца и сапоги с пряжками и подковами на каблуках.

О губительности Х-лучей для живых тканей при больших дозах облучения ещё не было известно. Поэтому, учитывая большой размер плёнки, её низкую (по сравнению с сегодняшними регистрирующими средами) чувствительность и отсутствие у экспериментатора надлежащего опыта работы с живыми объектами, можно с уверенность утверждать, что судьбе этой женщины вряд ли можно позавидовать — хотя история не сохранила ни её имени, ни каких-либо сведений об её дальнейшей жизни.

Катодная трубка

Катодная трубка, благодаря которой Рентген открыл свои Х-лучи, в сущности была достаточно простым устройством.

Рис. 3

Это стеклянный (или металлический с окошком) баллон, из которого откачан воздух (см. рис.3). Внутри откачанного объёма расположены два электрода (анод и катод), на которые подаётся высокое напряжение.

Катод служит источником электронов, а анод (его часто называют антикатодом) — является источником рентгеновских лучей.

Антикатод срезается под углом примерно в 45^о к оси трубки, поэтому рентгеновское излучение распространяется в направлении нормали к оси трубки.

Электрическое поле, создаваемое высоким напряжением, разгоняет электроны до энергий порядка 10⁴-10⁵эВ, что соответствует разности потенциалов в несколько десятков киловольт. Для получения электронов столь высоких энергий в трубке создаётся вакуум на уровне 10^-6мм рт.ст.

Тормозное излучение

Рентгеновские лучи возникают в результате резкого торможения быстрых электронов в материале антикатода и представляют собой электромагнитное излучение с длиной волны порядка 0,001 нм до 80 нм. Из-за способа возникновения такое излучение получило название тормозного.

Рис.4

На первых порах волновой характер тормозного рентгеновского излучения не вызывал сомнения. Однако было одно "но". Посмотрите на рис. 4. Спектр тормозного излучения имеет резкую границу в коротковолновой области, причём эта граница смещается при изменении напряжения на катодной трубке. Волновая теория этого объяснить не могла. Всё стало на место после использования квантового подхода к трактовке рентгеновских лучей.

Действительно, разогнавшийся в электрическом поле до скорости v электрон приобретает кинетическую энергию, равную

(mv²)/2 = eU,

где e — заряд электрона, m — его масса; U — напряжение между электродами катодной трубки.

При попадании электрона на антикатод его кинетическая энергия частично передаётся кристаллической решётке, а оставшаяся часть уносится в виде кванта рентгеновского излучения. Закон сохранения энергии в этом случае имеет вид

eU = AT + h .

(1)

Здесь A_T — энергия, выделяющаяся в виде тепла на антикатоде;  h — постоянная Планка; — частота рентгеновского кванта.

Уравнение (1) позволило объяснить все особенности спектра тормозного излучения. Так из (1) видно, что максимальная энергия рентгеновского кванта не может превышать энергии, которую имеет электрон. То есть

h max = eU.

(2)

Следовательно, переходя к длинам волн, имеем

min= c/ max = hc/eU.

(3)

Рассчитанная по этой формуле (3) минимальная длина волны рентгеновского излучения при заданном напряжении полностью совпала с результатами, полученными из экспериментов.

Величина энергии A_T, отдаваемой электроном антикатоду, может варьироваться в очень широких пределах (именно из-за этого мощные катодные трубки нуждаются в хорошем охлаждении, которое обычно делается водяным). Поэтому энергия рентгеновских квантов тоже может быть любой их заданного диапазона, а сам спектр тормозного излучения должен быть сплошным — из-за этого иногда тормозное излучение даже называют белым рентгеновским излучением по аналогии с белым светом.

Это также соответствует экспериментальным данным.

Квантовый взгляд на природе тормозного излучения объясняет и несколько необычную конструкцию анода в катодной трубке. Вставка в анод пластинки из металла высокой плотности (названной антикатодом) способствует более резкому торможению электронов и повышению в следствии этого энергии рентгеновских лучей. Этот факт был сначала обнаружен экспериментально, но своё объяснение получил только после привлечения квантовой теории.

Характеристическое рентгеновское излучение

Квантовый подход к природе рентгеновских лучей позволил объяснить ещё одну особенность рентгеновского спектра. Дело в том, что при превышении определённого, характерного для каждого вида материала антикатода, порогового значения напряжения на фоне сплошного тормозного спектра проявлялись (рис.5) резкие выбросы (пики или линии).

Рис. 5

Причём, набор этих пиков для каждого вида материала был свой и зависел от наличия тех или иных атомов в веществе антикатода. При этом было абсолютно неважно, входят эти атомы в состав какой-либо молекулы или содержаться самостоятельно — от этого вид характеристического спектра не менялся.

Это можно объяснить, если предположить, что причина появления линейчатого характеристического спектра определяется взаимодействием  быстрых электронов непосредственно с глубинными, не затронутыми химическими реакциями, электронными оболочками отдельных атомов.

При передачи быстрым электроном энергии атому антикатода её величины может оказаться достаточной для перевода электронов с внутренних оболочек на внешние или даже на ионизацию атома. В результате на освободившееся место переходят электроны с близлежащих оболочек. При таких переходах атом в соответствии со вторым постулатом Бора испускает кванты энергии (фотоны), частота которых лежит в рентгеновском диапазоне частот. Получаемое излучение назвали характеристическим, поскольку оно зависит только от природы излучающего атома, то есть от значения его зарядового числа Z.

Как и оптические спектры, линейчатые рентгеновские спектры состоят из линий, составляющих несколько серий. Но, в отличие от оптических спектров с огромным числом линий, серии рентгеновского спектра содержат небольшое количество линий. Кроме того, у различных элементов обнаруживаются однотипные серии линий, отличающиеся только тем, что у более тяжёлых атомов эти однотипные линии смещены в сторону более коротких длин волн.

В порядке возрастания длин волн серии линий характеристического излучения именуются соответственно K-, L-, M-, N-сериями, что связано с происхождением линий этих серий.

Рис. 6

Например, если выбитый из атома электрон находился на К-том энергетическом уровне, то все возможные излучательные квантовые переходы образуют наиболее коротковолновую (жёсткую) К-серию. Аналогично образуются L-, M- и N-серии (рис.6).

Закон Мозли

В 1913 году Мозли определил зависимость частоты рентгеновского излучения от порядкового номера атома и уровней, между которыми происходит переход электронов, которая получила название "Закон Мозли":

(4)

Видно, что выражение (4) очень похоже на формулу, описывающую сериальные закономерности в оптических спектрах. Но в законе Мозли величина Z уменьшена на — постоянную экранирования. Смысл этой постоянной заключается в том, что в тяжёлом атоме, содержащем Z электронов, на электрон, совершающий переход с какой-либо оболочки, действует уже не весь заряд ядра Ze, а ослабленный экранирующим действием оставшихся на этой оболочке электронов заряд (Z - ) e.

Последовательное применение формулы Мозли к элементам периодической системы Менделеева подтвердило в своё время закономерное возрастание на единицу заряда ядра при переходе от одного элементу к следующему по порядку. Это имело большое значение для подтверждения справедливости ядерной модели атома и периодического закона Менделеева.

Принципы рентгеноструктурного анализа

Рентгеновское излучение можно обнаружить при помощи люминесцентных экранов, по его ионизирующему действию на газы, по фотохимическому воздействию на фотоэмульсию. Электромагнитная природа рентгеновских лучей могла быть доказана с помощью обнаружения у них волновых свойств. Но из-за очень короткой длины волны наблюдать дифракцию рентгеновского излучения на обычных решётках долго не удавалось (это смогли сделать только в 1926 году).

Однако уже в 1912 году у немецкого физика М.Лауэ появилась мысль, что строго закономерно расположенные атомы в кристалле могут сыграть роль искомой природной дифракционной решётки для рентгеновского излучения.

Проверка показала, что при пропускании узкого пучка рентгеновского излучения через кристалл кроме основного неотклонённого пучка обнаруживаются и боковые пучки меньшей интенсивности. При замене одного кристаллического вещества другим отклонённые пучки появлялись также, но уже на других расстояниях от основного.

Расчёты подтвердили, что эти пучки являются результатом дифракции рентгеновского излучения на кристалле, и результаты проведённых измерений полностью совпали с предсказанными волновой теорией. В этом случае кристаллическая решётка выступает в роли пространственной дифракционной решётки, на которой и дифрагируют рентгеновские лучи.

Естественно, определение межатомных расстояний (по известной длине волны) или определение длины волны (при известных межатомных расстояниях) представляет собой очень непростую стереометрическую задачу. Однако она имеет большое практическое значение, поэтому работы в этом направлении развернулись сразу же за открытием Лауэ.

Один из самых первых методов измерения длины волны рентгеновских лучей был разработан уже в 1913 году русским учёным Г.В.Вульфом и английским физиком У.Л.Брэггом. Его суть заключалась в том, что при падении рентгеновского излучения на кристалл оно рассеивается на нескольких атомных плоскостях. При этом рассеянные лучи интерферируют между собой и существует направление, в котором интенсивность отражённого излучения будет наибольшей (дифракционные максимумы рентгеновских лучей).

Рис. 7

Такое усиление отражённого излучения возможно при условии, что на разности хода между лучами, отражёнными от соседних атомных плоскостей, укладывается целое число длин волн. Как видно из рис.7

2CB = 2d sin = m ,  m = 1, 2, ...

где — так называемый угол скольжения, дополняющий угол падения до прямого угла; d — расстояние между межатомными плоскостями.

Условие 2d sin = m (5)   называется формулой или условием Вульфа-Брэгга.

Иногда  угол падения рентгеновского излучения,  при котором выполняется условие Вульфа-Брэгга,  называют углом Брэгга ( Б ), то есть Б = 90о- .

Согласно формуле Вульфа-Брэгга на пространственных решётках могут дифрагировать только такие волны, длина которых < 2d. Следовательно, 

неравенство d < ( /2) представляет собой  условие оптической однородности кристалла  для электромагнитных волн с длиной волны .

У кристаллических решёток d (10^-9-10^-10) м. Поэтому кристаллы оптически однородны для видимого и ультрафиолетового излучения.

Следует отметить, что сказанное относится только к идеальным кристаллам, расстояния между узлами решётки которого строго одинаковы. Реальные кристаллы из-за теплового движения нельзя считать полностью оптически однородными даже для видимого света.

На кристаллических решётках дифрагируют рентгеновские и -лучи, а также электроны, нейтроны и другие микрочастицы, длины волн де Бройля которых достаточно малы.

Расстояние между межатомными плоскостями хорошо известных кристаллов можно вычислить достаточно просто. Так для кристалла NaCl с кубической решёткой зная, что расстояние между ионами Na и Cl равно d, а на один ион приходится объем равный d³, можно записать

Здесь N_A = 6,02 10²³ моль^-1 — число Авагадро, М = 5,85 10^-2 кг/моль — молярная масса кристалла NaCl, = 2140 кг/м³ — его плотность.

Отсюда получаем межатомное расстояние d = 2,8 10^-10 м.

Теперь, зная d, по уравнению Вульфа-Брэгга (5) можно найти длину волны рентгеновского излучения. А дальше, зная , можно определить d для других неизвестных кристаллов.

Рассмотренный случай относится к самым простым, но именно с подобного ему и развился современный рентгеноструктурный анализ.

Поглощение рентгеновского излучения

При прохождении через вещество рентгеновское излучение расходует свою энергию на возбуждение и ионизацию атомов, а также на рассеяние при упругом взаимодействии с электронами. Интегральный закон поглощения рентгеновского излучения вне зависимости от механизма этого процесса описывается уравнением

(6)

где  I_o — интенсивность на поверхности,  I_x— интенсивность на глубине x,   — коэффициент поглощения.

Коэффициент поглощения в общем случае зависит от двух причин: собственно поглощения и рассеяния рентгеновского излучения. С этой точки зрения его можно представить как сумму двух коэффициентов

  = _п + _р

Коэффициент _п определяет непосредственно само поглощение. Он растёт с ростом атомного номера и плотности вещества и проявляется в основном при относительно длинных волнах ("мягкие лучи").

Так например, стекло с примесью свинца, хорошо пропуская свет, практически непрозрачно для рентгеновских лучей.

Коэффициент _р характеризует рассеяние лучей (обычно комптоновское с изменением длины волны) и заметно проявляется при коротких длинах волн ("жёсткие лучи"). От атомного номера данный коэффициент не зависит.

Следует отметить, что потери энергии при рассеянии носят атомарный характер и при рассеянии рентгеновского излучения в молекулярной среде  молекулярный коэффициент поглощения  равен сумме атомарных коэффициентов для атомов, образующих молекулу.

Форма математической записи закона поглощения рентгеновского излучения (6) полностью совпадает с законом Бугера для видимой области спектра. Это ещё одно свидетельство в пользу волновых свойств рентгеновских лучей.

Слой половинного поглощения

Закон поглощения рентгеновского излучения имеет экспоненциальный характер, поэтому, чтобы иметь возможность сравнивать и более точно характеризовать поглощающие свойства вещества, часто используют понятие слоя половинного поглощения d_1/2, под которым понимается такая толщина слоя вещества, которая поглощает половину падающего на него излучения.

Нетрудно заметить, что это сродни понятию времени релаксации процессов, развивающихся по экспоненциальному закону.

Получение выражение для d_1/2 основывается непосредственно на самом понятии этого слоя.

Действительно, если на вещество падает поток излучения интенсивностью  I_o, то после прохождения слоя толщиной d_1/2, интенсивность потока станет равной I_x = I_o/2. Тогда закон поглощения (6) можно записать в виде

Отсюда

Применение рентгеновского излучения

Использование свойств рентгеновского излучения поистине многообразно. 

Зависимость поглощательной способности рентгеновского излучения от плотности вещества позволила развить разнообразные и высокоэффективные методы медицинской диагностики, дефектоскопии в промышленности. Чего стоит только одна флюорография — благодаря которой у огромной массы населения можно на ранних стадиях, когда есть высокая вероятность излечения, обнаружить опасные заболевания.

Короткая длина волны и свой собственный механизм взаимодействия с веществом дали возможность создать и успешно использовать рентгеноструктурный анализ и рентгеновскую спектроскопию, которые дают возможность получать информацию о структуре вещества вплоть до внутриатомного уровня.

Рентгеновские телескопы, вынесенные за пределы земной атмосферы, позволяют получать информацию о строении вселенной. 

Для объяснения свойств теплового излучения пришлось ввести представление об испускании электромагнитного излучения порциями (квантами). Квантовая природа излучения подтверждается также существованием коротковолновой границы спектра тормозного рентгеновского излучения.

Рентгеновское излучение возникает при бомбардировке анода рентгеновской трубки быстрыми электронами (рис. 18.5). Анод трубки выполнен из тяжелых тугоплавких или с высоким коэффициентом теплопроводности металлов: вольфрама (W), молибдена (Mo), меди (Cu), платины (Pt).

Попав в вещество анода, электроны испытывают сильное торможение и испускают тормозное электромагнитное излучение (рентгеновские лучи). Только (1–3) % энергии электронов идет на излучение, остальная часть выделяется на аноде в виде тепла, поэтому аноды охлаждают водой.

 

Рис. 18.5

Начальная скорость электрона V₀ при попадании на анод определяется по формуле:

,

где U – ускоряющее напряжение.

Согласно классической электродинамике при торможении электрона должно возникать излучение всех длин волн от нуля до бесконечности. Длина волны, на которую приходится максимум мощности излучения, должна уменьшиться по мере увеличения скорости электронов, что в основном подтверждается на опыте (рис. 18.6).

Заметное излучение рентгеновского диапозона наблюдается лишь при резком торможении быстрых электронов, начиная с U ~ 50 кВ, при этом V₀ ≈ 0,4c (с – скорость света). В индукционных ускорителях электронов – бетатронах, электроны приобретают энергию до 50 МэВ, V₀ = 0,99995 с. Направляя такие электроны на твердую мишень, получают рентгеновское излучение с малой длиной волны. Это излучение обладает большой проникающей способностью.

Рис. 18.6

Однако есть принципиальное отличие от классической теории: нулевые значения мощности начинаются не в начале координат, а обрываются при конечных значениях λ_min – это и есть коротковолновая граница спектра рентгеновского излучения.

Экспериментально установлено, что , где А−массовое число химического элемента.

Существование коротковолновой границы непосредственно вытекает из квантовой природы излучения. Действительно, если излучение возникает за счёт энергии, теряемой электроном при торможении, то энергия кванта hν не может превысить энергию электрона eU, т.е. hν ≤ eU , отсюда или

. (18.17)

Как видно из (18.17) по экспериментальным результатам можно определить постоянную Планка h. Следует отметить, что из всех методов определения постоянной Планка метод, основанный на измерении коротковолновой границы спектра тормозного рентгеновского излучения, является самым точным.

Когда энергия бомбардирующих анод электронов становится достаточной для вырывания электронов из внутренних оболочек атома, на фоне тормозного излучения появляются резкие линии характеристического рентгеновскогоизлучения. Частоты этих линий зависят от природы вещества анода, поэтому их и назвали характеристическими.

Состояние атома с вакансией во внутренней электронной оболочке неустойчиво. Электрон одной из внешних оболочек может заполнить эту вакансию, и атом при этом испускает избыток энергии в виде фотона характеристического излучения: . Все переходы на k-оболочку образуют K-серию, соответственно, на l- и m-оболочки – L- и M-серии линий рентгеновского излучения (рис. 18.7).

 

 

Рис. 18.7

Рис. 18.8

 

Английский физик Генри Мозли в 1913 году установил закон, названный его именем, связывающий частоты линий рентгеновского спектра ν с атомным номером испускающего их элемента Z:

, (18.18)

 

где n = 1, 2, 3,…; m = n+1, n+2, n+3,…

Здесь R = 3,29 ∙10¹⁵ c⁻¹ − постоянная Ридберга; σ – постоянная, учитывающая экранирующую роль окружающих ядро электронов. Чем дальше электрон от ядра, тем значение σ больше.

Из выражения (18.18) вытекает, что корень квадратный из частоты ν

связан с атомным номером Z линейной зависимостью:

 

. (18.19)

 

Если под влиянием катодного электрона или рентгеновского излучения, падающего извне, освобождается один из двух электронов самого внутреннего слоя (К-слоя), то освободившееся место может быть занято электроном из какого-нибудь внешнего слоя (L, M, N,…). В первом случае испускается линия , во втором - , в третьем - .

Например, для линии n = 1, m = 2, σ = 1. Здесь в случае серии К экранирование полного заряда ядра Z осуществляется одним электроном, остающимся после ионизации в слое К. Тогда выражение (18.19) для линии K_α примет вид:

 

. (18.20)

 

На рис. 18.8 показана графическая зависимость закона для K_α- , L_α- и M_α - серий.

Закон Мозли позволил по измеренным значениям длин волн λ рентгеновского излучения точноопределить атомный номер химического элемента, из которого изготовлен анод, и сыграл большую роль при размещении элементов в таблице Менделеева.

 

Контрольные вопросы

1. Чему равно отношение давлений света на зеркальную и зачерненную поверхности?

2. В чем отличие характера взаимодействия фотона с электроном при фотоэффекте и эффекте Комптона?

3. Как объяснить происхождение коротковолновой границы спектра тормозного рентгеновского излучения?

4. Почему тормозное рентгеновское излучение имеет сплошной спектр, а характеристическое – линейчатый?