§4 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Поступательное движение

Вращательное движение

Связь

1

 - путь

2

 - cкорость;

3

 - ускорение; 

 – угловое ускорение

4

m - масса

  - момент инерции

5

 - uмпульс;

 – момент импульса

6

;

7

;

 – кин. энергия вращательного движения

8

dA -элементарная  работа;

dA -  элементарная работа вращательного движения

Импульс. Закон сохранения импульса

Векторная величина p, равная произведению массы m на скорость v, называется импульсом материальной точки. p = mv . Из выражения II закона Ньютона следует, что  . Интегрирование этого выражения в пределах от t₁ до t₂ дает приращение импульса за промежуток времени Δt = t₂ – t₁  если   то  . Таким образом, зная изменение импульса со временем, можно установить силу, действующую на тело. И наоборот, зная импульс силы ^ F Δt, можно определить изменение импульса Δp и изменение скорости тела. Размерность импульса кг·м/c. Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек (систему тел). Введем определение внутренних и внешних сил. Внутренние силы – силы, с которыми на данное тело воздействуют другие тела системы. Внешние силы – силы, обусловленные воздействием со стороны тел, не принадлежащих системе.В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой. Импульсом системы называется векторная сумма p = p₁ + p₂ + …+ p_n =  Точка, положение которой в пространстве задается радиусом-вектором r_c , называется центром инерции системы (здесь m_i и r_i - масса и радиус-вектор i – го тела системы, m - суммарная масса системы).Отметим, что центр инерции системы совпадает с центром тяжести системы. Скорость центра инерции v_c . Учитывая, что m _iv_i = p_i , а   , можно записать p= mv_c . Та ким образом импульс системы равен произведению массы m на скорость V_c центра инерции системы. Пусть система состоит из трех тел (рис.6). В системе действуют: F₁₂ , F₂₃ и т.д. – внутренние силы; F₁ , F₂ , F₃ - равнодействующие внешних сил. Для каждого из тел системы можно записать Из закона Ньютона следует, что F₁₂ = - F₂₁, F₁₃ =-F₃₁, F₂₃ = -F₃₂. Поэтому суммируя левые и правые части этих уравнений, получим: Если внешние силы отсутствуют (или их равнодействующая равна нулю), то dp/dt = 0, а p = const. Следовательно, для замкнутой системы импульс есть постоянная величина. Полученный результат легко обобщить на систему, состоящую из произвольного n числа тел  (i = 1, 2, 3, …. n) Суммируя эти равенства для всех n тел системы и учитывая, что F_ik= -F_ki , получим  , т.е., производная импульса по времени равна сумме внешних сил. Для замкнутой системы сумма внешних сил равна нулю   и для такой системы выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. . Если внешние силы действуют, но их равнодействующая равна нулю, то импульс также остается постоянным. Если равнодействующая внешних сил не равна нулю, но ее проекция на некоторое направление, например, x, равна нулю, то для составляющей импульса на данное направление выполняется _срх Из закона сохранения импульса вытекает, что центр инерции замкнутой системы тел либо остается неподвижным, либо движется равномерно и прямолинейно. ^

Работа и мощность

Действие силы F на пути s характеризуется работой, которая является количественной мерой процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. Энергия-это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия материи (механическая, тепловая, электромагнитная ядерная и др.). 1 Под действием силы ^ F тело проходит путь s. При этом сила либо изменяет скорость тела, либо компенсирует действие других сил, препятствующих движению (например, силы трения). Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы, и направление силы F совпадает с направлением перемещения s, то работа А равна скалярному произведению F и s.  А= F · s = F · s [Дж =Н · м ]. Е сли сила F составляет с направлением перемещения угол α (рис. 7), то работа  A =F_s · s = F·s · cos α , где F_s=F·cosα - проекция силы на направление перемещения. Работа - величина алгебраическая. Если : 0 ≤ α < π / 2 , то cos α > 0 и А > 0; α = π / 2, то cos α = 0 и А = 0; π / 2 < α ≤ π , то cos α < 0 и А < 0. В общем случае движение может быть не прямолинейным и сила может изменяться по величине и по направлению. Для вычисления работы разобьем путь на элементарные участки Δs столь малые, что проекцию силы F_s на таком участке можно считать постоянной (рис.7). Тогда работа на каждом таком участке будет равна ΔA_i ≈ F_si · Δs_i Работа на всем пути s будет равна  .  При Δs_i →0 это приближенное равенство перейдет в строгое    На графике (рис. 8) полная работа силы на участке 1-2 равна площади фигуры 1234. Скорость совершения работы характеризуется мощностью: N = dA/dt [Вт], 1Вт= 1 Дж/c. За время dt сила F совершает работу F_s ds и мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, равна  . Если направление действия силы совпадает с направлением скорости , то N=F ·v. В случае, если F ≠ const, то  Работа квазиупругой или упругой силы Примером работы, совершаемой переменной силой, может служить работа упругой силы. При упругой деформации, например, при сжатии или растяжении пружины, сила пропорциональна величине деформации x F = ­­– kx , где k – коэффициент упругости. Знак “минус” говорит о противоположном направлении силы и смещения x (деформация). Элементарная работа сжатия равна δА = F dx или δА = -kx dx. Определим работу силы F на пути от x₁ до x₂ . Для этого проинтегрируем последнее выражение А Если x₂ = s, а x₁ =0, то А = -  Так как F = -ks , то A= Fs/2.Эта работа определяет запас потенциальной энергии упруго сжатой пружины W_П  W_П = ks²/2 = Fs/2. Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии. Фи зическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется энергией. В механике различают два вида энергии - потенциальную и кинетическую. Кинетическая энергия - это энергия движения. Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, обусловленная взаимным расположением тел. Пусть тело 1 массой m (рис.9), движущееся со скоростью v, действует на соприкасающееся с ним тело с силой F. За время dt точка приложения силы получила приращение ds = vdt, вследствие чего тело 1 совершит работу над телом 2 δА = Fds = Fvdt  Очевидно, что в данном случае тело 1 совершает работу δА над телом 2 за счет запаса энергии dE_к , которой оно обладает в силу своего движения, т.е. за счет кинетической энергии δА=dE_к. Известно, что Fdt = dp = d(mv) =mdv, и тогда δА = Fvdt = mvdv = dE_к Интегрируя это уравнение, получим Е_к Отметим, что работа А, совершаемая над телом, равна приращению его кинетической энергии ΔЕ_к А = Е₂ – Е₁ = ΔЕ_к. Энергия имеет ту же размерность, что и работа– 1 Дж =1Нм=кгм²/c. Взаимодействие тел осуществляется не только непосредственным их контактом, но и бесконтактным способом через образуемые ими поля. Свойства твердых тел не локализованы только в той области пространства, где находится центр массы, а распределены в окружающем тело пространстве, образуя силовое поле.  Если тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено действию других тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к точке, то говорят, что тело находится в поле сил. Например, тело у поверхности Земли находится в гравитационном поле Земли. Поле – это один из видов материи. Как и вещество, оно обладает массой и энергией. Поле - это не абстракция, вводимая для объяснения взаимодействия. Поле – это физическая сущность, обладающая определенными физическими свойствами, по которым мы его обнаруживаем и по которым о нем судим. Поле существует в пространстве. Однако не следует понимать поле как пространство . Пространство, как и движение , есть форма существования материи и нельзя его смешивать с самой материей.  Ит ак, тела создают в окружаемом пространстве силовое поле. Поле сил, в котором работа , совершаемая ими над телом, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве, называется потенциальным, а действующие в нем силы называются консервативными силами (в отличие от диссипативных). В потенциальном поле работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. По определению поля сил (если тело подвергается действию со стороны других тел, закономерно изменяющемуся от точки к точке) каждой точке поля можно приписать значение некоторой функции E_п(r) , которая будет отражать эту закономерность. С помощью этой функции можно определить работу, совершаемую над телом, силами поля. Эта функция является выражением потенциальной энергии поля E_п(r). Конкретный вид этой функции зависит от характера силового поля.Так для поля тяготения Земли выражение потенциальной энергии имеет вид E_n = mgh, где m – масса тела, g - ускорение свободного падения.Знак потенциальной энергии может быть (+) или (-) в зависимости от выбора начала отсчета высоты h (рис.10). Работа консервативных сил при элементарном  (бесконечно малом ) перемещении dr равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком “минус”, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии. δА= - dE_п Известно, что δА = Fdr, следовательно, можно записать  Fdr = – dE_п. Отсюда потенциальная энергия E_п(r) будет  E_п(r) = – ∫ Fdr + С, где С- постоянная интегрирования. Из выражения Fdr = – dE_n видно, что для консервативных сил их связь с потенциальной энергией будет иметь вид F_x= – ∂E_п / ∂x; F_y= - ∂E_п / ∂y; F_z= - ∂E_п / ∂z , или в векторном виде F = – grad E_п , где grad  ·i +  ·j+  ·k. Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела. Сила упругости пропорциональна деформации x F_x упр = – kx, где F_x упр - проекция силы упругости на ось x; k –коэффициент упругости; x – деформация. По третьему закону Ньютона деформирующая сила F_x равна F_x = –F_x упр = kx. Элементарная работа δА , совершаемая силой F_x ,равна δА = F_x dx = kx dx, а полная работа   идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированного тела E_п = kx² / 2. Полная механическая энергия системы Е – есть энергия механического движения Е_к и энергия взаимодействия Е_п (потенциальная энергия) Е = Е_к + Е_п. Так, тело, находящееся на высоте h над поверхностью Земли и движущееся со скоростью v, обладает полной механической энергией Е , равной . При движении тел системы кинетическая энергия Е_к может превращаться в потенциальную Е_п и наоборот. Пусть в замкнутой системе Земля-тело поднятое на высоту h тело массой m обладает потенциальной энергией E_п = mgh и начинает свободно падать. У поверхности Земли его скорость будет равна   и оно приобретает кинетическую энергию . У поверхности Земли (h = 0) потенциальная энергия окажется равной нулю. Таким образом, потенциальная энергия превращается в эквивалентное количество кинетической энергии. Обратное превращение происходит в случае, если тело брошено вертикально вверх с некоторой скоростью v. По достижении телом высоты h, которая определится из условия v =  , cкорость тела будет равна нулю и кинетическая энергия mv² / 2 превратится в потенциальную энергию mgh. При этом полная энергия тела остается неизменной. Такой переход энергии возможен при условии, что тело находится под действием только силы, обуславливающей наличие потенциальной энергии (сила mg есть внутренняя сила в системе Земля-тело). При наличии внешних сил (в случае незамкнутой системы тел) изменение полной энергии будет происходить за счет работы, совершаемой этими силами. Рассмотрим общий случай изменения кинетической и потенциальной энергии в замкнутой системе тел. В такой системе внешние силы отсутствуют, или их равнодействующая равна нулю. Пусть система состоит из N тел. Уравнение движения каждого i-го тела системы имеет вид:  m_i∙a_i =f_i , или  , где f_i - суммарная внутренняя сила, действующая на i-е тело со стороны остальных (N-1) тел системы.  Пусть внутри системы каждое из его тел за промежуток времени dt совершает перемещение ds_i. Умножим скалярно левую и правую части уравнения на ds_i  Учитывая, что ds_i/dt = v_i , получим m_i v _id v _i = f_i ds_i . Левую часть этого равенства можно представить в виде   а правая часть есть элементарная работа δA_i=f_i ∙ ds по перемещению i-го тела системы. Тогда d(E_k)_i = δA_i , т.е. изменение кинетической энергии i-го тела системы равно работе внутренних сил. Просуммируем последнее выражение по всем N телам системы В замкнутой системе действуют консервативные силы и их работа δА равна убыли потенциальной энергии dE_п δ А = -dE_п. Следовательно , предыдущее равенство можно переписать в виде dE_k =-dE_п или dE_k +dE_п =0; d(E_k +Е_п )=0, откуда следует, что  E =E_k+Е_п = const, Т.е. полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. Эта формула и формулировка выражают существо закона сохранения механической энергии. Если в системе действуют и неконсервативные силы (например, сила трения), то полная механическая энергия системы не сохраняется и в этом случае выполняется более общий закон сохранения энергии. Контрольные вопроси.

1. Дайте формулировку законов Ньютона?

2. Дайте характеристику массы и силы в механике?

3. Что называется механической системой? Какие системы называются замкнутыми? 

4. Дайте определение импульсу сформулируйте законы сохранения импульса? 

5. Дайте определение работы и энергии. Какие виды энергии рассматривают в механике?

6. Сформулируйте закон сохранение энергии в механике и проиллюстрируйте его выполнение на примере свободно подающего тела? 

7. Какова связь между силой и потенциальной энергией? 

Тесты.

1. На тело, движущееся со скоростью v, на пути S действует сила F под углом α. Может ли быть при этом работа силы отрицательной?

а) не может; б) может, если модуль скорости очень мал; в) может, если α = 0; г) может, если 90⁰< α <180⁰.

2. Какая из приведенных ниже формул выражает второй закон Ньютона? 

а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

3. Какая физическая отрицательная величина измеряется в джоулях?

а) сила; б) работа; в) мощность; г) энергия; д) вес.

4. Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела массой m движущейся со скоростью v?

а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  . Пример решения задач. Груз массой 700 кг падает с высоты 5м для забивки сваи массой 300кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину 4 см. Удар между грузом и сваей считать абсолютно неупругим. ^ Дано: m₁=700кг; h=5м; m₂=300кг; s=4см=0.04м Найти: F_ср. Решение. По условию задачи удар неупругий, и поэтому груз и свая после удара двигаются вместе, их путь s=4см. На движущуюся систему действует сила тяжести и сила сопротивления грунта F_ср. По закону сохранения энергии Т+П=А, (1) Где Т- кинетическая энергия; П- потенциальная энергия; А- работа сил сопротивления, которую можно определить по формуле А= F_срs. При движении системы на пути s изменяются её потенциальная и кинетическая энергия П=(m₁+m₂)gs; , где u – общая скорость груза и сваи после удара (в начале их совместного движения). Используя это, запишем равенство (1) в виде . (2) Для оценки средней силы сопротивления F_ср установим значение общей скорости и сваи, для чего применим закон сохранения импульса: . (3) Для системы «груз - свая» закон сохранения импульса имеет вид:  , (4) где v – скорость груза в конце его падения с высоты h; m₁ν – импульс груза в конце его падения до удара о сваю;   - импульс груза и сваи после удара. Скорость груза v в конце падения с высоты h определяются без учета сопротивления воздуха и трения: . (5) Общая скорость груза и сваи после удара находится из формул (4) и (5):   (6) Определим среднюю силу сопротивления материала F_ср из формул (2)и (6): F_ср   (7)  (8) . F_ср   Глава 3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ^ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КИНЕМАТИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В ращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Рассмотрим абсолютно твердое тело с закрепленной осью вращения OO΄. Проведем через ось две плоскости P и Q. Неподвижная плоскость Q будет являться телом отсчета (аналогичной началу координат), а плоскость P, связанная с вращающимся телом, будет характеризовать положение тела в каждый момент времени величиной двугранного угла φ. Изменение угла поворота φ со временем φ = φ (t) будет уравнением вращательного движения тела (аналогичного уравнению s = s(t) при поступательном движении тела). Пр и вращении всего твердого тела в целом отдельные его точки движутся по окружностям. Рассмотрим движение точки M находящейся на расстоянии r от оси вращения (рис. 12). Если тело повернулось на угол φ, то точка M перешла из положения 1 в положение 2 и прошла путь s, равный s = r∙φ,где угол φ измерен в радианах . За время Δt тело повернется на угол Δ φ точка m пройдет путь Δs = r ∙ Δ φ. Разделив обе части этого равенства на Δt и, переходя к пределу, получим   или  , v = r∙ω , где ω = dφ/dt - производная от угла поворота φ по времени называется угловой скоростью. ω - измеряют в рад/с, или с^-1 часто угловую скорость задают числом оборотов n в единицу времени. Эти две величины связаны отношением ω = 2πn. При неравномерном вращении угловая скорость ω изменяется со временем и за время Δt получает приращение Δω. При этом линейная скорость точки также получает приращение Δv , равное  Δv = Δ (r∙ω) = r∙Δω. ^

Разделив обе части равенства на Δt, и переходя к пределу, получим

 или  . Производная dω/dt = ε называется угловым ускорением, а соотношение a_τ=r∙ε выражает связь линейного тангенциального a_τ и углового ускорения. Угловое ускорение измеряют в рад/c² или с^-2 . Известно, что при криволинейном движении тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное – по направлению и равно a_n = v²/r. Учитывая, что v= ωr, получим связь нормального ускорения с угловой скоростью: а_n = ω²r. Величина полного ускорения а, выраженная через характеристики вращательного движения, имеет вид При равнопеременном вращательном движении (ε = const) формулы для определения угла поворота и угловой скорости имеют вид . ^

Динамика вращательного движения

Ч тобы твердое тело с закрепленной осью привести во вращение, к нему необходимо приложить силу, не проходящую через ось вращения и не параллельную ей. Вращательное движение под действием силы F определяется не только ее величиной, но и расстоянием d от линии ее действия до оси вращения, называемого плечом силы. Векторное произведение M =[rF] или M = r F sinα называют моментом силы, где r- радиус-вектор, проведенный из точки О, обозначающей ось вращения, к точке приложения силы. Плечо силы d =r sin α, где α – угол, между направлением силы F и радиус-вектора r. Разобьем мысленно тело на материальные точки массой m_i c расстоянием до оси вращения r_i. Пусть под действием силы F тело начало вращаться. Это значит, что каждая точка тела получила ускорение a_i , По второму закону Ньютона для каждой точки тела можно записать F_i =m_ia_i . Умножим обе части равенства на радиус вращения точки r_i  F_i r_i =m_i a_i r_i . Учитывая, что a_i = r_i∙ε; M_i = F_ir_i , запишем M_i = m_ir_i² ε. Величина J_i = m_ir_i² называется моментом инерции материальной точки, а сумма   моментом инерции тела относительно оси вращения. M_i= J_i∙ε. Суммируя последнее равенство по всем точкам тела, получим: M= J ε или ε = M/ J - уравнение динамики вращательного движения, или уравнение II закона Ньютона для вращательного движения. Угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Момент инерции характеризует инерционность тела при вращательном движении и зависит не только от массы тела, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами dm и момент инерции тела определяется интегралом

. Пределы интегрирования определяются формами и размерами тела. В тех случаях, когда ось вращения проходит через центр тяжести (или центр инерции) тела, а тело имеет правильную геометрическую форму , интегрированием легко получить выражения для момента инерции и они являются наиболее простыми. Так, момент инерции обруча, кольца и пустотелого цилиндра J = mR² ; диска и сплошного цилиндра J = ; шара J =  , стержня  где m- масса тела, R- радиус, ℓ-длина стержня. В тех случаях, когда ось вращения проходит не через центр инерции тела, момент инерции определяется по теореме Штейнера: J =J₀ + md² . Мо мент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела , и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.  Момент инерции J тонкого стержня длиной l относительно оси O΄ O΄, проходящей через его конец (рис. 14а)  . Момент инерции шара относительно оси O^’ O^’, касательной к его поверхности (рис.14б) ^

Кинетическая энергия и работа при вращательном движении.

Мысленно разобьем тело на малые частицы с массами m₁, m₂ , …, m_n так, чтобы линейные скорости материальных точек составляющих эти частицы можно было считать одинаковыми. Расстояния этих частиц от оси вращения, соответственно равны r₁, r₂, …, r_n , а скорости - v₁, v₂, …, v_n. Кинетическая энергия каждой частицы будет   а всего тела:  Заменим линейную скорость v_i ее выражением через угловую v_i = ωr_i. . Так как угловая скорость для всех точек тела одинакова, т.е. ω=const, то Выражение , стоящее в скобках, есть сумма моментов инерции частиц тела, т.е. момент инерции J, и тогда вырaжение для кинетической энергии вращательного движения примет вид E= J∙ω² /2, Если тело участвует в двух движениях одновременно - в поступательном со скоростью v и вращательном со скоростью ω, то его полная кинетическая энергия равна Работа внешней силы постоянной величины при вращении равна ΔA =  т.е. равна произведению момента внешней силы на угол поворота . В общем случае dA = M dφ и работа будет  Если М=const, то A=M∙φ. Эта работа затрачивается на изменение кинетической энергии вращающегося тела Основное уравнение динамики вращательного движения. При постоянном вращающем моменте M=const угловое ускорение будет также постоянным ε =const и вращение будет равно переменным. Поэтому, если начальная скорость вращения была ω₀ , а через промежуток времени Δt под действием момента M внешних сил она стала ω, то угловое ускорение  и основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:  или M Δt = J ω - J ω_0. Произведение M Δt называют импульсом момента сил, Jω – моментом импульса тела. Это уравнение представляет собой выражение основного закона динамики вращательного движения: Импульс вращающего момента сил , действующих на тело, равен изменению момента импульса тела. ^ Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса. Импульсом тела при всяком движении, как известно, называют величину р= mv. При изучении вращательного движения тела аналогично моменту силы вводят векторную величину L =[rp] =m [rv], называемую момента импульса. Выясним, чем определяется изменение моментом импульса L со временем. Для этого продифференцируем L по t Если мы рассматриваем материальную точку, то ее расстояние от оси вращения остается неизменным r = const. Т.е. dr/dt = 0, а следовательно, Рассмотрим изменение момента импульса L c другой стороны, исходя из уравнения вращательного движения: M = Jε, ε = M/J. Если вращательный момент M постоянен, то и угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить  где Δt = t – t₀ ; ω₀ – начальная угловая скорость; ω – угловая скорость через промежуток времени Δt. Тогда уравнение вращательного движения, можно записать в виде  или MΔt Сравнивая это выражение с dL/dt = M, нетрудно убедиться, что Jω = L – есть момент импульса. Импульс момента силы и момент импульса являются величинами векторными и совпадают по направлению с M и ω. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью v_i = ω r_i , где r_i - радиус окружности, которую описывает частица массой m; ω – угловая скорость, одинаковая для всех точек тела. Момент импульса каждой частицы тела равен L_i = m_i r_i v_i = m_i ω   = ωJ_i . Суммарный момент импульса тела будет  ω  ωJ, или в векторном виде L = J ω. Известно, что dL/dt = M, откуда dL = Mdt . Рассматривая это выражение, можно отметить, что если M = 0, то , a следовательно, L = const, т.е. J ω = const, если М = 0. Эта формула является выражением закона сохранения момента импульса тел системы. Если вектор суммарного момента внешних сил, действующих на систему тел относительно неподвижной оси, равен нулю M = 0, то векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется со временем, т.е. остается постоянной J ω = const. Значит сумма моментов импульсов всех тел замкнутой системы сохраняется неизменной. Допустим, что у вращающегося тела происходит изменение момента инерции. Это приводит к изменению скорости вращения. Если J возрастает, то ω убывает, и наоборот, т.е. J₁ ω₁ = J₁ ω₂. При вращательном движении справедлив также закон, аналогичный III закону Ньютона для поступательного движения. При взаимодействии двух вращающихся тел момент M₁ , с которым первое тело действует на второе, равен вращающему моменту M₂ , с которым второе тело действует на первое и противоположен ему по направлению  M₁ = – M_{2 .} Если они взаимодействуют в течении промежутка времени Δt, то M₁ Δt = – M ₂ Δt. Используя формулу основного закона вращательного движения, это выражение можно переписать в (скалярном виде) J₁ (ω'₁ – ω₁ ) = –J₂ (ω'₂ – ω₂ ), где ω₁ и ω₂ – угловые скорости до, а ω'₁ и ω'₂ – после взаимодействия вращающихся тел. Преобразуем это выражение:  J₁ ω₁ + J₂ ω₂ = J₁ ω' ₁ + J₂ ω' ₂ . Отсюда следует, что сумма моментов импульса тел замкнутой системы в результате их взаимодействия остается неизменной. Обобщая этот вывод на произвольное число тел в замкнутой системе, можно записать т.е. опять получили выражение закона сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса принадлежит к числу самых фундаментальных физических законов, так как связан с изотропностью пространства. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы тел не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как целого на любой угол. Изотропность - равноправность всех направлений в пространстве. Однородность пространства - равноправность всех точек пространства. Пространство, как таковое не может изменить импульс в силу отсутствия выделенных точек, в силу их равноправия. Закон сохранения момента импульса не зависит от выбора осей координат, в чем и проявляется его фундаментальность.  Контрольные вопроси.

1. Какое движение называют вращательным?

2. Назовите характеристики вращательного движения и их связь с линейными характеристиками?

3. Что такое момент инерции материальной точки и твёрдого тела?

4. Что такое момент силы относительно неподвижной оси?

5. Вывести и сформулировать уравнение динамики вращательного движения?

6. Вывести уравнение кинетической энергии при вращательном движение?

7. Привести уравнение кинетической энергии тела участвующего одновременно в двух движениях.

8. Что такое момент импульса материальной точки? 

9. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется? Приведите пример.

Тесты.

1. Чему равен момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии ¼ длины от его конца? а) ¹/₁₂m ²; б) ¹/₃ m ²; в) ¹/₅ m ²; г) ²/₅ m ²; д) ⁷/₈ m ²

2. Чему равна кинетическая энергия поступательного движения шара, скатывающегося без трения с наклонной плоскости высотой h в конце наклонной плоскости?

а) mgh; б) ⁵/₇ mgh; в)¹/₂ mgh; г) ¼ mgh; д) ³/₅ mgh.

3. От чего зависит момент инерции тела, вращающегося относительно закрепленной оси?

а) от момента приложения сил? б) от распределения массы относительно оси вращения; в) от углового ускорения.

4. Физический смысл момента инерции:

а) произведение силы на плечо; б) произведение момента силы на время действия; в) мера инертности во вращательном движении.

5. Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела при вращательном движении?

а) Iω²/₂; б) I²ω/₂; в) Iω²; г) Iω; д) I²ω². ^ Пример решения задач. К катящемуся по горизонтальной поверхности шару массой 1кг приложили силу 1Н и остановили его. Путь торможения составил 1м. Определить скорость шара до начала торможения. ^ Дано:m=1кг; F=1Н; s=1м. Найти: v. Решение. Кинетическая энергия катящегося шара складывается из энергии поступательного и вращательного движений: , где m – масса шара, J – момент инерции, v и ω – линейная и угловая скорости, которые связаны соотношением  , r – радиус шара.

Момент инерции шара J=0.4mr². С учетом этого . Работа А тормозящей силы F на пути s A=Fs будет равна изменению кинетической энергии шара,

которое в условии задачи равно E_к (кинетическая энергия остановившегося шара равна 0).   ;  , откуда   ;  .(м/с)

Поступательное  движение

Вращательное  движение

Масса

Момент  инерции

Скорость

Угловая  скорость

Ускорение

Угловое ускорение

Сила

Момент силы

  или    

Импульс

Момент импульса

Основные уравнения динамики

Основные уравнения динамики

Работа

Работа

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия

Закон сохранения импульса

Закон сохранения момента импульса