2.2 Спектральний аналіз сигналів на основі рядів Фур'є

Важливим поняттям у просторах Евкліда, Гільберта і Хеммінга є ортогональність векторів. Два вектори та ортогональні, якщо ,[44].

Легко показати, що якщо вектори іпривзаємно ортогональні, то вони також лінійно незалежні. Тому сукупність ортогональних векторів можна використовувати як базис лінійних просторів.

Представимо неперервну (у часі і за рівнем) функцію з квадратом, що інтегрується, у просторічерез довільну ортонормовану систему базисних функцій, для яких

. (2.16)

Замість (2.15) маємо

, (2.17)

де – коефіцієнти (координати) розкладання в ортонормовано­му базисі . Представлення (2.17) називають узагальненимрядом Фур'є [19]. Для визначення коефіцієнтів знайдемо скалярний добуток

.

Урахувавши (2.16), отримаємо

. (2.18)

Таким чином, коефіцієнти узагальненого ряду Фур'є є проекціями вектора x на ортогональні осі (одиничні орти) Урахувавши (2.8) і (2.17) можна одержати вираз,

, (2.19)

який є окремим випадком рівності Парсеваля [42]. З урахуванням ортонормованого базису легко бачити, що скалярний добуток і норму в просторіможна знаходити за формулами (2.11) і (2.12).

Представимо тепер приблизно функцію розкладанням в скорочений ряд по ортонормованих базисних функціяху вигляді

, (2.20)

і визначимо коефіцієнти , так, щоб мінімізувати середньоквадратичну похибку (СКП):

. (2.21)

Урахувавши (2.18) можна записати

_{. (2.22)}

Похибка має мінімальне значення, коли , тобто коли коефіцієнти розкладання в укороченому поданні (2.20) є коефіцієнтами узагальненого ряду Фур'є. Позначивши , можна написати виходячи з (2.22) умову

, або . (2.23)

Нерівність (2.23) називають нерівністю Бесселя [30]. Коли зростає - величиназменшується. Якщо приСКП прагне до нуля, то систему базисних функцій називаютьповною. Маючи на увазі, що присправедливе (2.19), можна стверджувати, що в просторі Гілберта система базисних функційє повною. Ця система функцій є також замкнутою, тому що для будь-якої функціїзнерівність (2.23) переходить прив рівність.

2.2.1 Спектральне представлення періодичних сигналів

При формуванні та обробці сигналів часто доводиться мати справу з періодичними коливаннями складної форми. Періодичну функцію , де –період повторення, можна представити розкладанням в узагальнений ряд Фур'є (2.17) по базисних функціях основної тригонометричної системи

. (2.24)

Усі функції системи (2.24) попарно ортогональні на інтервалі . Узагальнений ряд Фур'є по базисних функціях (2.24) можна записати

; (2.25)

; . (2.26)

Представлення (2.25) називають рядом Фур'є. Ряд (2.25) можна записати у вигляді

, (2.27)

_де

; ; . (2.28)

Відповідно до формули (2.27) періодичну функцію можна представити сумою гармонічних коливань з частотами, кратними основній частотіз амплітудамиі початковими фазамиСукупність амплітудутворює амплітудний спектр сигналу (рис. 2.3), а сукупність фаз– фазовий спектр сигналу.

Рисунок 2.3 – Амплітудний спектр періодичного сигналу з періодом проходження .

Ряд Фур'є (2.27) часто подається в комплексній формі

, (2.29)

де – комплексна амплітуда, визначається за формулою

. (2.30)

Варто звернути увагу на те, що сума в (2.29) включає не тільки додатні значення , але і від’ємні (з'являються “від’ємні частоти”).

_{Для переходу з (2.27) у (2.29) можна скористатися формулою Ейлера [17]}

. (2.31)

Вираз (2.31) можна інтерпретувати як представлення гармонічного сигналу одиничної амплітуди з позитивною частотою у вигляді суми двох гармонічних коливань (половинної амплітуди) на додатній частоті і від’ємній частоті. Для речовинних функцій,як випливає з (2.26) і (2.28),,,,(амплітудний спектр – парна функція частоти, фазовий – непарна функція частоти). Як наслідок,,Комплексне представлення ряду Фур'є виявляється дуже зручним при виконанні різних розрахунків.