7.5.2 Декодування циклічних кодів

Декодування засноване на тому, що будь-який кодовий багаточлен ділиться на проізводящий багаточлен , без залишку відповідно до формули (7.26). Якщо прийнята комбінація не належить циклічному коду, то відповідний їй багаточлен не ділиться на , тобто

, (7.26)

де С(х) – залишок від ділення на ; Q(x) – частка від ділення.

З формули (7.26) виходить, що багаточлен залишку С(х) визначається тільки багаточленом помилки і не залежить від кодового багаточлена . Коли належить циклічному коду, тоді ділиться на і . Якщо не належить коду, то . Це дозволяє по ненульовому залишку С(х) від ділення на виявити помилки.

Відповідні однократним помилкам багаточлени виходять діленням на багаточленів завади вигляду , де - номер спотвореного символу комбінації коду. Їм відповідають комбінації, які є стовпцями перевірочної матриці Н лінійного коду і є відповідними синдромами С відповідно до формул (7.16) і (7.18).

При помилці q-й кратності залишок визначається сумою багаточленів залишків, відповідних однократним помилкам, так само як для довільного лінійного коду синдром визначається складанням стовпців матриці Н відповідно до співвідношень (7.16) і (7.18). Таким чином, залишок є синдромом помилки в циклічних кодах.

Визначення синдрому діленням на вимагає менше обладнання, чим його обчислення відповідно до формули (7.24). Таким чином, основним елементом в схемі декодера циклічного коду, як і в кодері систематичного коду, є схема ділення, звана генератором синдромів (ГС). Узагальнена структурна схема декодера циклічного коду приведена на рис.7.7.

Рисунок 7.7 – Узагальнена структурна схема декодера циклічного коду

Складність декодера визначається дешифратором помилок і істотно залежить від кратності помилок, що виправляються. При однократній помилці дешифратор має один вихід і входів. У разі помилок другої кратності дешифратор має n виходів, об'єднаних схемою «АБО».

При виправленні помилок кратності число виходів дешифратора визначається з виразу

і швидко зростає при збільшенні числа символів кодової комбінації n і кратності помилки . Відомі різні схеми декодування циклічних кодів, але всі вони засновані на обчисленні синдромів помилки відповідно до співвідношень (7.16) і (7.18) і побудовані на схемах ділення на .

Розглянемо один з варіантів на прикладі коду (7,4), що виправляє однократні помилки. Він заснований на обчисленні синдрому однократної помилки в старшому розряді комбінації коду при діленні багаточлена помилки на і його використанні для виправлення помилки в будь-якому символі прийнятої комбінації. Обчислення цього синдрому здійснюється схемою ділення (рис.7.8), на вхід якої подається вектор помилки Е=1000000, багаточлен помилки .Стан елементів схеми ділення показаний в табл.7.2.

Починаючи з 2-го по 8-ий такти воно відповідає складовим синдромів помилки відповідно в першому (молодшому) розряді кодової комбінації [такт 2 (100)], в другому розряді [такт 3 (010)] і т.д. до 8-го такту, якому відповідає синдром С=001. У цьому легко переконатися, подавши на вхід схеми вектори помилки виду Е=0100000, 0010000 і т.д. Якщо продовжити зсув складових синдромів після 8-го такту, то можна переконатися, що вони повторюються. На цій властивості циклічності складових синдромів (станів ) засновано виправлення однократних помилок. Для цього як дешифратор помилки використовується схема І, що має три входи і один вихід і яка налаштована на синдром С=001.

Розглянемо алгоритм декодування циклічного коду, який полягає у наступному.

1. Комбінація U, що поступає з демодулятору, протягом 7 ми тактів записується в регістр зсуву і одночасно ділиться на проізводящий багаточлен в схемі ГС. Якщо помилки в комбінації U не було або даною перевіркою вона не виявлена, то стан елементів ГС на 8-му такті буде нульовим (С=000). За наявності помилки в комбінації U стан елементів ГС відмінний від нульового і визначає складові синдрому .

2. Починаючи з 8-го такту символи комбінації U «виштовхуються» з РЗ, а ГС здійснюють циклічний зсув складових синдрому до моменту встановлення елементами стану 001, на яке настроєна схема І.

3. На виході схеми І з'являється 1, яка подається на вхід суматора; на другий вхід суматора з РЗ поступає спотворений символ.

Таблиця 7.2 – Стан єлементів схеми ділення (рис.7.8)

Такт	Е	S1	S2	S3
1-й 2-й 3-й 4-й 5-й 6-й 7-й	1 0 0 0 0 0 0	0 1 0 1 1 1 0	0 0 1 0 1 1 1	0 0 0 1 0 1 1
8-й 9-й 10-й 11-й	0 0 0 0	0 1 0 1	0 0 1 0	1 0 0 1

Цьому алгоритму відповідає схема декодера (рис.7.8). Ключ К1 розмикається після 7-го такту, коли комбінація U повністю поступила в РЗ, а ключ К2 після 11-го такту, коли чотири інформаційні символи вийдуть з РЗ. У загальному випадку схема працює 2n тактів. В даному випадку, враховуючи, що код систематичний, то достатні 11 тактів роботи для виправлення помилок тільки в інформаційних символах.

Рисунок 7.8 – Структурна схема декодера циклічного коду

У табл.7.3 приведений стан елементів ГС під час вступу з демодулятора спотвореної комбінації (неспотворена комбінація ).

Як видно з табл.7.3 на 10-му такті ГС приходить в стан 001, спрацьовує схема І, і 1 з її виходу поступає на суматор, на інший вхід якого поступає спотворений символ. В результаті складання відбувається виправлення помилки.

Таблиця 7.3 – Стан елементів генератора синдромів помилок

Такт	Е	S1	S2	S3
1-й 2-й 3-й 4-й 5-й 6-й 7-й	1 0 1 1 1 1 0	0 1 0 0 0 1 1	0 0 1 0 0 0 1	0 0 0 1 0 0 0
8-й 9-й 10-й	0 0 0	1 0 0	1 1 0	1 1 1