7.2 Принцип виявлення і виправлення помилок в завадостійких кодах

Для того, щоб код виявляв і виправляв помилки, безліч всіх можливих комбінацій коду розділяється на дві непересічні підмножини: дозволених (кодових) і заборонених комбінацій. Кодер використовує тільки дозволені комбінації. Заборонені комбінації не використовуються при передачі, а можуть утворюватися тільки під впливом завади.

Принцип виявлення помилок полягає в тому, що декодер визначає приналежність прийнятої комбінації коду. Якщо комбінація належить коду, то приймається рішення, що помилок немає. Якщо ж прийнята комбінація є забороненою, то приймається рішення про наявність помилки. Код може виявляти помилки, якщо число заборонених комбінацій . Помилки не можна виявляти тільки в тих випадках, коли одна кодова комбінація перейшла в іншу під впливом завади. Імовірність виявлення помилок коду визначається вибором дозволених кодових комбінацій і не залежить від властивостей дискретного каналу зв'язку.

Принцип виправлення помилок полягає в тому, що вся безліч комбінацій коду розділяється на непересічних підмножин, які називаються областями рішень. Кожна область рішення відповідає одній з дозволених кодових комбінацій. Якщо прийнята комбінація потрапляє в одну з областей, то приймається рішення про передачу кодової комбінації, відповідної цій області. Виправлення помилок відбуватиметься в тих випадках, коли кодове слово і прийнята заборонена комбінація відносяться до однієї області рішень. У кожну область рішень включають такі заборонені комбінації, при прийомі яких найбільш імовірною є одна з дозволених кодових комбінацій коду, що відповідає принципу максимальної правдоподібності.

При передачі рівноімовірних кодових комбінацій коду розподіл комбінацій по областях рішень визначається тільки характером помилок в каналі зв'язку. Наприклад, в двійковому симетричному каналі найбільш імовірні помилки малої кратності. Тому розбиття заборонених комбінацій між областями рішень повинне здійснюватися так, щоб перш за все виправлялися помилки малої кратності. Для цього кодові комбінації вибираються так, щоб при обмеженому числі заборонених комбінацій забезпечити можливість виправлення помилок малої кратності. Для однозначного декодування кожна із заборонених комбінацій повинна входити тільки в одну область рішень, тоді ці області не перекриваються.

Відмінності в комбінаціях кодів як векторів лінійного n-мірного простору визначаються відстанню Хеммінга між ними , яке змінюється від 1 до n. Очевидно, що серед комбінацій коду можна вибрати такі, відстань між якими, наприклад, не менш двох, і їх використовувати при кодуванні комбінацій і передавати в канал зв'язку. Такі комбінації є кодовими або дозволеними, а інші – забороненими. Мінімальна відстань між всіма кодовими комбінаціями називається мінімальною кодовою відстанню і визначається як вага кодової комбінації , найменше відмінна від нульової комбінації , що завжди належить коду . Мінімальну кодову відстань можна використовувати для оцінки виявляючої і виправляючої здатності кодів.

Для виявлення помилки в прийнятій комбінації достатньо, щоб її кратність q (або вага помилки) була менше мінімальної кодової відстані . В цьому випадку прийнята комбінація вважається забороненою. Тоді кратність помилки пов'язана із співвідношенням:

. (7.4)

Для виправлення помилок необхідно, щоб області рішень не перекривалися, і кожна із заборонених комбінацій входила тільки в одну область. Чим далі межа області від кодового слова, тим більшої кратності помилка може бути виправлена при передачі даної кодової комбінації. Допустимо, що межа областей двох сусідніх кодових слів стикаються, і відстань між словами . Тоді помилки q-й кратності, потрапляючи в одну з областей рішень, виправлятимуться. Це можливо при . Таким чином максимальна кратність помилок, що виправляються, пов'язана із співвідношенням:

, (7,5)

де квадратні дужки означають цілу частину числа.

Виявляючу і виправляючу здатність завадостійкого коду можна пояснити за допомогою рис.7.2. На ньому зображені дозволені кодові послідовності і , між якими розташовані заборонені і.

З рис.7.2. і формул (7.4) і (7.5) слідує узагальнений вираз для мінімальної кодової відстані

. (7.6)

Коректуючий код дозволяє також виправляти деякі помилки кратності, більшої , якщо прийнята спотворена комбінація не виходить з області рішень для переданого кодового слова.

Як випливає з виразів (7.4) і (7.5), для підвищення кратності виявлених або виправлених помилок, потрібно збільшувати мінімальну кодову відстань , а значить число надмірних символів коду. Тому одним із завдань теорії кодування є побудова кодів з мінімальним числом перевірочних (надмірних) символів при заданому .

Рисунок 7.2 – Зв'язок мінімальної кодової відстані з числом виявлених і виправлених помилок

Загального рішення цієї задачі не існує, проте відомі граничні співвідношення для певних класів кодів. Так, наприклад, нижню межу для числа надмірних (контрольних) символів кодів можна визначити, якщо прирівняти число виправлених помилок, рівних числу заборонених комбінацій , до числа усіх помилок кратності від 1 доn будь-якій з кодових комбінацій:

або

. (7.7)

З виразу (7.7) виходить, що для виправлення помилок першої кратності параметри коду зв'язані співвідношенням

, (7.8)

де r – число перевірочних (контрольних) символів (розрядів) в кодовій комбінації.

Враховуючи формулу (7.7), вираз (7.8) може бути представлений у вигляді

. (7.9)

Цей вираз називається межею Хеммінга для числа контрольних символів коду.

Якщо при деяких n і k нерівності (7.7)-(7.9) переходять в рівності , код називається здійсненим або щільноупакованим. Такі коди виправляють всі помилки тільки кратністю до і жодної помилки вищої кратності. Щільноупакованими коди називають тому, що всі заборонені комбінації потрапляють всередину областей рішень.

До досконалих відносяться три типи лінійних кодів: двійковий код непарної довжини з повторенням, коди Хеммінга і код Голея.

Код з повторенням містить дві кодові комбінації, що містять один інформаційний символ і перевірочних, які повторюють інформаційний:

.

Одна кодова комбінація цього коду складається тільки з нулів, інша – з одиниць. Мінімальна кодова відстань і .

Коди Хеммінга, запропоновані Р.Хэммінгом в 1948р., відносяться до кодів, виправляють всі одиночні помилки, мають мінімальну кодову відстань , . Коди Хеммінга утворюють наступний ряд: (3,1), (7,4), (15,11), (31,26), (63,57), (127,120)... Отже, число перевірочних символів росте значно повільніше за число інформаційних. Це означає, що вигідно кодувати довші інформаційні послідовності. Для цих кодів досягається нижня межа числа перевірочних символів .

Код Голея (23,12) має , і є досконалим, оскільки [12].

Значно ширше клас квазідосконалих кодів, які виправляють всі помилки кратності до , частину помилок кратності і жодної помилки вищої кратності.