7.4.2 Кодування в коді Хємминга

Розглянемо завдання коду Хеммінга для виправлення однократних помилок на прикладі коду (7,4). Складемо три рівняння формування перевірочних символів коду (по числу перевірочних символів в кодовій комбінації)

(7.20)

Тут виконується складання по модулю 2.

З рівнянь формування легко виходять рівняння перевірок по модулю 2:

(7.21)

Перевірочні і проізводящі матриці коду відповідно мають наступний вигляд:

Як видно з матриці G мінімальна кодова відстань , оскільки вага першого, другого та третього рядків підматриці однакова і рівна 3.

Кодери для лінійних кодів можуть бути побудовані на підставі співвідношення (7.20), що визначає спосіб формування кодової комбінації по заданих інформаційних символах.

Структурна схема кодера, що формує перевірочні символи відповідно до рівнянь (7.21) для систематичного коду Хеммінга (7,4), приведена на рис.7.4.

Рисунок 7.4 –Структурна схема кодера Хеммінга

Кодер містить семирозрядний регістр зсуву (РЗ) і три суматори по модулю 2. Чотири інформаційні символи поступають від джерела інформації ДІ в РЗ. Складання по модулю 2 певних інформаційних символів див. (7.20) за один такт формуються перевірочні символи , які записуються в РЗ. Після чого сформована таким чином кодова комбінація U поступає з РЗ в канал зв’язку.

7.4.3 Особливості декодування лінійних блокових кодів

Декодування лінійних кодів полягає у виявленні і(або) виправленні помилки в прийнятій комбінації . Для цього визначається синдром (ознака) прийнятої комбінації виду

. (7.22)

Синдром є вектор-рядок з символів , які при підстановці формули (7.15) у вираз (7.22) можна представити у вигляді

.

Оскільки прийнята комбінація може відрізнятися від переданої кодової комбінації U на величину помилки , то синдром С визначається тільки вектором помилки Е

(7.23)

оскільки згідно з виразом (7.19).

Із співвідношення (7.19) виходить, що С=0, коли помилки в комбінації не було (Е=0), або під впливом помилки (Е≠0) одна дозволена кодова комбінація перейшла в іншу дозволену кодову комбінацію.

Якщо С≠0, у прийнятій комбінації є помилка, і для її виявлення необхідно обчислити синдром.

Виправлення помилок в прийнятій комбінації можливо, якщо встановлена взаємно однозначна відповідність між синдромом і конфігурацією помилки (однократна, двократна і т.д.). Таку відповідність можна встановити підстановкою вектора помилки у виразі (7.23), тоді

, (7.24)

де - стовпець перевірочної матриці.

З формули (7.24) виходить, що при однократній помилці е_i (вектор помилки Е може мати вигляд 100...0, 010...0, ...00...1), тобто синдром співпадає з i-м стовпцем матриці Н або i-м спотвореним символом прийнятої комбінації. Взаємна однозначна відповідність між синдромом С, а також помилкою е_i, забезпечується, якщо стовпці перевірочної матриці різні і не нульові. У разі помилки другої кратності (вектор помилкиЕ має вигляд 101...0, 011...0, ...10...1) синдром формується складанням i-го і j-го стовпців матриці Н, при цьому їх сума не повинна співпадати ні з одним із стовпців матриці. Така умова може бути забезпечена певним вибором матриці Н.

По обчисленому синдрому здійснюється оцінка символів вектора помилкиЕ і оцінка символу переданої комбінації

.

При цьому правильна, якщо правильно оцінений символ завади .