Интегрирование по частям

Таблица интегралов не содержит формул для вычисления интеграла от произведения двух функций, от логарифмической и обратных тригонометрических функций. Эти интегралы находятся методом интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Данный метод базируется на следующей теореме.

Т.4.2. (интегрирование по частям в неопределенном интеграле)

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х. Если на этом промежутке существует интеграл v(x)u′(x)dx, то на нем существует и интеграл

u(x)v′(x)dx, причем справедливо равенство

(2)

Формула (2) называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Так как v′(x)dx = dv и u′(x)dx = du, то формулу (2) можно записать в виде

. (3)

Формула (3) – формула интегрирования по частям – позволяет свести вычисление интеграла udv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям (3). Иногда эту формулу приходиться использовать несколько раз.

Правила применения формулы интегрирования по частям (3)

1. Подынтегральное выражение разбить на 2 части, одну из которых обозначить через u, а другую, содержащую дифференциал независимой переменной, через dv.

2. По функции u найти ее дифференциал du = u′dx, а по dv найти v = dv.

3. Результат интегрирования записать по правой части формулы (3).

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида , где р(х) – многочлен, k – число.

В этом случае удобно обозначить u = P(x), а за dv взять все остальные сомножители (соответственно: dv = e^kxdx, dv = a^kxdx, dv = sinkxdx, dv = coskxdx).

Пример.

2. Интегралы вида

В этом случае удобно обозначить dv = P(x)dx, а за u взять остальные сомножители (соответственно: u = arcsinkx, u = arccoskx, u = arctgkx, u = arcctgkx, u = lnkx, u = log_akx).

Пример.

3. Интегралы вида , где а и b – числа.

В этом случае удобно обозначить u = e^ax, за dv взять все остальные сомножители (соответственно: dv = sinbxdx, dv = cosbxdx). Интегралы данного типа находятся двукратным интегрированием по частям.

6