Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Свойство 2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Данное свойство позволяет проверить правильность интегрирования дифференцированием. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной:

Свойство 4. Неопределенный интеграл от производной функции равен самой функции плюс произвольная постоянная:

Свойство 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

Свойство 6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где k≠0 – const.

Свойство 7. Если f(x)dx = F(x) + С, то справедливы формулы:

.

Вопрос 3. Таблица основных интегралов

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул следует непосредственно из определения интегрирования, как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных.

Справедливость каждой формулы можно проверить путем дифференцирования правой части.

1		11
2	, n ≠ ‒1	12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Интегралы, содержащиеся в данной таблице, называются табличными.

Замечание

Переменную u, входящую в формулы таблицы, можно заменить любой другой переменной или выражением.

Пример 2.

Вопрос 4. Методы интегрирования Непосредственное интегрирование

О.4.1.Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Пример.

Внесение под знак дифференциала

При сведении данного интеграла к табличному интегралу часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «внесения под знак дифференциала»):

1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Общая формула:

Пример.

Пример.

Интегрирование методом подстановки

Метод интегрирования подстановкой или метод замены переменной заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).

Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Метод подстановки основан на следующей теореме.

Т.4.1. (замена переменной в неопределенном интеграле)

Пусть функция x = φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

(1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой. После нахождения интеграла в правой части этого равенства следует вернуться от новой переменной t назад к старой переменной х.

Пример.

Замечание

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = φ(x), тогда формула замены переменной примет вид , где t = φ(x). Другими словами, формулу (1) можно применять справа налево.

Пример.

Пример. .