Тема 6. Интегральное исчисление функции одной переменной

§1. Неопределенный интеграл

1. Первообразная функция.

2. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.

3. Таблица основных интегралов.

4. Методы интегрирования.

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной или дифференциала заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике, химии и технике приводят к обратной задаче: по заданной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f(x), т.е. F′(x) = f(x).

Операция восстановления функции по известной производной этой функции называется интегрированием, а раздел математики, изучающий способы нахождения функции по ее производной и приложения этой операции, называется интегральным исчислением.

Вопрос 1. Первообразная функция

Одним из основных понятий интегрального исчисления является понятие первообразной.

О.1.1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для всех хХ выполняется равенство

F′(x) = f(x).

Т.1.1. Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то для нее на этом промежутке существует первообразная.

Пример.

Для функции f(x) = х², хR, первообразной является функция , так как . Очевидно, что первообразными будут так же любые функции вида , где С – постоянная, т.к. .

Т.1.2. (о множестве всех первообразных)

Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке Х. Тогда на данном промежутке функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, и все эти первообразные имеют вид F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

Из теоремы 1.2 следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) для данной функции f(x), то все множество первообразных для f(x) исчерпывается функциями вида F(x) + С.

Вопрос 2. Понятие неопределенного интеграла и его свойства

О.2.1. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных данной функции, т.е. множество функций вида F(x) + С.

Обозначение: f(x)dx.

По определению f(x)dx = F(x) + С.

В данном равенстве: F(x) - первообразная, C - произвольная постоянная, f(x) - подынтегральная функции, f(x)dx - подынтегральное выражение,  - знак интеграла, х - переменная интегрирования.

О.2.2. Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием, а раздел математики, изучающий интегрирование, называется интегральным исчислением.

Геометрический смысл неопределенного интеграла

Геометрически неопределенный интеграл (1) представляет собой семейство «параллельных» кривых y = F(x) + С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой кривой y = F(x) + С (первообразной) называется интегральной кривой.

Из теоремы 1.1 следует, что если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то она имеет на этом промежутке первообразную F(x), и для нее существует неопределенный интеграл f(x)dx.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла. Т.к. операция интегрирования является обратной для дифференцирования, то свойства неопределенного интеграла легко доказываются с помощью дифференцирования.