§3. Основная формула интегрального исчисления

Основные свойства определенного интеграла. Оценки интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы.

На сегодняшней лекции мы продолжим изучение определенного интеграла и получим формулу для его вычисления. Как мы увидим позже, определенный интеграл равен приращению первообразной, и представляет собой постоянное число, равное площади криволинейной трапеции. Поэтому все методы вычисления неопределенного интеграла справедливы и для определенного интеграла.

Вопрос 1. Основные свойства определенного интеграла

Интеграл

(1)

был введен для случая a < b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Свойство 1. .

Эта формула получается из (1) при условии, что все Δx_i = 0.

Свойство 2. .

Эта формула получается из (1) при условии, что отрезок [a;b] пробегается в обратном направлении (от b к а), т.е. все Δx_i < 0.

Свойство 3. (свойство аддитивности)

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b] и a < c < b, то

. (2)

Равенство (2) справедливо при любом расположении точек а, b и с (считаем, что функция f(x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Свойство 4.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

,

где k = const.

Свойство 5.

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.

.

Замечание

1. Свойство 5 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

2. Свойства 4 и 5 в совокупности представляют собой свойство линейности определенного интеграла.

Вопрос 2. Оценки интеграла. Теорема о среднем

Будем считать, что всюду a < b.

1. Если всюду на отрезке [a;b] функция f(x) ≥ 0, то .

2. Если всюду на отрезке [a;b] f(x) ≥ g(x), то .

3. Для функции f(x), определенной на отрезке [a;b], имеет место неравенство .

В частности, если всюду на отрезке [a;b] то и .

4. Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то .

Т.2.1. (теорема о среднем)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке существует точка с, такая, что

. (3)

Равенство (3) называется формулой среднего значения, а величина f(c) - называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].