1 Основные определения. Типовые содержательные задачи линейного программирования, являющиеся задачами исследования операций

1.1. Основные определения

Понятия, связанные с исследованием операций (ИО), могут использоваться в самых разнообразных исследованиях, но для каждой конкретной операции они требуют соответствующей интерпретации, отражающей физическую сущность изучаемых явлений.

Операциейназывается совокупность взаимосогласованных действий, направленных на достижение вполне определенной цели с заданной эффективностью. Без заданной цели нет смысла говорить об операции.

Состоянием операциив некоторый момент времениt называется совокупность ее характеристик (особенностей), проявляющихся в этот момент и отражающих объективно сложившееся положение дел. Всякая операция представляет собой процесс, существующий во времени, проходящий различные этапы (фазы) развития и завершающийся получением конечного результата, сопоставимого с исходной целью. Если характеристики операции измеримы и допускают количественную оценку, то можно говорить о них как о фазовых переменных, формально отражающих ход операции.

Оперирующей сторонойназывают совокупность элементов, образующих определенную структуру, предназначенную для активного достижения поставленной цели с заданной эффективностью. В зависимости от масштаба операции и характера своего участия в ней элементы организационной системы могут либо сами формулировать себецель операции- конечное состояние, которое должна достигнуть система (оперирующая сторона), либо получать директивы извне (экзогенно задаваемое конечное состояние операции). Вопрос о составе оперирующей стороны обсуждается каждый раз специально при рассмотрении хода исследуемой операции с разных точек зрения.

Активными средствамипроведения операции называется совокупность материальных, энергетических, информационных, денежных, трудовых и других ресурсов, а также организационных возможностей, используемых оперирующей стороной для обеспечения успешного хода операции и достижения ее цели. Примерами активных средств являются вычислительные машины, электроэнергия, время, производственные мощности, трудовые ресурсы, фонд зарплаты, информационные ресурсы, площади и т.п.

Стратегиямиоперирующей стороны в данной операции называются допустимые (не выходящие за пределы технических, организационных, физических возможностей) способы расходования ею имеющихся активных средств.

Действующими факторамиоперации называются объективные условия и обстоятельства, определяющие ее состояние и непосредственно влияющие на ее исход (конечное состояние). Различают факторы определенные (точно известные) и неопределенные (имеющие вероятностную природу или проявляющиеся беспорядочно). Все факторы разделяются на контролируемые и неконтролируемые оперирующей стороной. Наличие контролируемых факторов создает возможность управления ходом операции. Примерами действующих факторов являются: фиксированная продолжительность рабочей смены, наличие резервов внешней памяти ЭВМ, обязательность контроля информации в процессе обработки (определенные факторы), погодные условия, надежность арендуемых каналов передачи данных, миграция населения (неопределенные факторы). Действующие факторы делятся на экзогенные (внешние) и эндогенные (внутренние).

Критерий эффективности операции- количественный показатель, характеризующий степень достижения цели. Критерий эффективности является критерием оптимальности стратегий оперирующий стороны, так как позволяет осуществить сравнительные оценки различных стратегий до начала их реализации. Как правило, интерес представляют стратегии, обеспечивающие максимальную степень достижения цели, соответствующую экстремальному (минимальному или максимальному) значению критерия.Примерами критериев являются: доход, прибыль предприятия, осуществляющего производство товарной продукции, затраты на достижение выбранной цели; время достижения цели; достоверность результатов процессов, обработки информации и т.д.

Математической моделью операцииназывают совокупность абстрактных математических соотношений, отражающих физические, химические, энергетические, экономические, социальные, информационные закономерности протекания процессов, определяющих изменение состояний операции. Каждая модель есть проявление субъективных знаний об объекте, опыта, искусства оперирующей стороны. Математическая модель "мысль субъекта об объекте".

Процесс создания модели требует четкого осознания цели операции, проникновения в существо моделируемых явлений, умения отделять главное от второстепенного.

Математическая модель операции, как правило, содержит:

1. Целевую функцию(критерий эффективности операции, характеризующий степень достижения цели)L(t), отражающую формальную зависимость критерия эффективности операции от значенийX₁(t),X₂(t)...X_n(t) управляемых (контролируемых) параметров (фазовых переменных):

Указание направления ее изменения:

(1.1)

соответствующего движению системы в направлении поставленной цели.

2.Ограниченияна изменение контролируемых параметров :

(1.2)

где m- число закономерностей, учитываемых при описании операции.

3. Условия неотрицательностиконтролируемых параметров:

(1.3)

Основная задачаисследования операции состоит в определении таких ,которые удовлетворяют ограничениям (1.2), условиям неотрицательности (1.3) и доставляют экстремальное значение критерию.

Множество

точек евклидового пространстваEⁿ, удовлетворяющих условиям (1.2), (1.3), называют множеством допустимых изменений (допустимым множеством) илиобластью определенияосновной задачи исследования операций. Учитывая сказанное, можно дать краткую запись основной задачи

(1.4)

- называют решением задачи (1.4).

Ни одна математическая задача не может дать исчерпывающих сведений о развитии реальной операции (практически всегда присутствуют неконтролируемые факторы), но получаемые с ее помощью решения позволяют оперирующей стороне ориентироваться в окружающей обстановке, вносить полезные изменения в модель, анализировать различные стратегии, выявлять второстепенные факторы планируемой операции.

Исследователь операции- отдельный специалист или научный коллектив, осуществляющий постановку основной задачи исследования операций, поиск формального ее решения. Исследователь входит в состав оперирующей стороны, но его роль ограничивается подготовкой рекомендаций, следующих из решений основной задачи. Право окончательного выбора предоставляется ЛПР (лицу, принимающему решения), ответственному за проведение операции и имеющему обычно дополнительные соображения относительно предпочтительных стратегий. Желательно, чтобы формальные решения, получаемые исследователем операции, как можно полнее отражались в принципиальных (ответственных) решениях, принимаемых руководящими органами.

В основу классификации задач (1.4) положены особенности функций L, fⁱ, .ЕслиL, fⁱ, не зависят от времени, то задачу (1.4) называют статической, в противном случае - динамической. Если в статической задаче (1.4) илиявляются нелинейными функциями контролируемых параметров, то задачу (1.4) называют задачей нелинейного программирования. Если в статической задаче (1.4) и все являются линейными функциями переменныхX₁,X₂...X_nто задачу (1.4) называют задачей линейного программирования (ЛП). В общей постановке задача ЛП состоит в отыскании значенийnпеременныхX₁,X₂...X_n, доставляющих экстремум функции

(1.5)

при ограничениях

a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n<b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n<b₂ (1.6)

— — — —— —— —— —— ——

a_m11x₁+a_m12x₂+...+a_m11nx_n=b_m1

a_m1+1,1x₁+a_m1+1,2x₂+...+a_m1+1,nx_n=b_m1+1

— — — —— —— —— —— ——

a_m1x₁+a_m2x₂+...+a_m1nx_n=b_m

и условиях неотрицательности (1.3).

Целевую функцию (1.5) называют линейной формойзадачи ЛП. Вектор , удовлетворяющий ограничениям (1.6), условиям (1.3) называют планом задачи ЛП. Решение задачи ЛП называют оптимальнымпланом; вектор =(c₁,c₂...c_n) — вектором коэффициентов линейной формы; вектор=(b₁,b₂...b_m) —вектором ограничений задачи, матрицуA, составленную из коэффициентов левых частей ограничений (1.6), имеющую размерностьmn,

называют матрицей условий. Столбец матрицыA называют вектором условий задачи ЛП.

В матричной форме задача ЛП имеет вид:

(1.7)

Множество называют допустимым множеством планов или областью определения задачи (1.7).