4. Дискриминантный анализ.
Дискриминантный анализ используется для принятия решения о том, какие переменные различают (дискриминируют) две или более возникающие совокупности (группы).
Дискриминантный анализ относится к группе методов анализа зависимости и внешний вид получаемой дискриминантной функции не отличается от уравнения регрессии: D = b0 + b1x1+ b2x2 +..+ bkxk. В качестве зависимой переменной выступает номинальная переменная, идентифицирующая принадлежность объектов к одной из нескольких групп. Независимые переменные ( x1, x2 .. xk ) количественные и качественные.
Основной задачей дискриминантного анализа является исследование групповых различий - различие (дискриминация) объектов по определенным признакам.
Дискриминантный анализ позволяет выяснить, действительно ли группы различаются между собой, и если да, то каким образом (какие переменные вносят наибольший вклад в имеющиеся различия).
При сравнении двух групп (бинарная зависимая переменная) формируется одна дискриминантная функция. Если данный метод применяется к анализу трех или более групп (множественный дискриминантный анализ), то могут формироваться несколько дискриминантных функций.
Важной проблемой дискриминантного анализа является определение дискриминантных переменных (переменных, входящих в дискриминантную функцию). Возможны два подхода. Первый предполагает одновременное введение всех переменных, в этом случае учитывается каждая независимая переменная, при этом ее дискриминирующая сила не принимается во внимание. Альтернативой является пошаговый (stepwise) дискриминантный анализ, при котором переменные вводятся последовательно, исходя из их способности различить (дискриминировать) группы. При пошаговом анализе «с включением» на каждом шаге просматриваются все переменные, и находится та из них, которая вносит наибольший вклад в различие между совокупностями. Эта переменная должна быть включена в модель на данном шаге, и происходит переход к следующему шагу.
При пошаговом анализе «с исключением» движутся в обратном направлении, в этом случае все переменные сначала будут включены в модель, а затем на каждом шаге будут устраняться переменные, вносящие малый вклад в различение. Тогда в качестве результатауспешного анализа можно сохранить только «важные» переменные в модели, т.е. те переменные, чей вклад в дискриминацию больше остальных. Пошаговый дискриминантный анализ основан на использовании уровня значимости F-статистики.
Проверка качества дискриминации (различия) основана на сравнении средних дискриминантной функции для исследуемых групп. Эти средние играют настолько важную роль в дискриминантном анализе, что получили свое название – центроиды (centroids). Центроидов столько, сколько групп, т.е. один центроид для каждой группы
Кроме этого, значения дискриминантной функции также имеют свое название – дискриминантные показатели (discriminant scores).
5. Факторный анализ.
В современной статистике под факторным анализом понимают совокупность методов, которые на основе реально существующих связей признаков, объектов или явлений позволяют выявлять латентные (скрытые и не доступные для непосредственного измерения) обобщающие характеристики организованной структуры и механизма развития изучаемых явлений или процессов.
Набор методов факторного анализа в настоящее время достаточно велик, насчитывает десятки различных подходов и приемов обработки данных. Чтобы в исследованиях ориентироваться на правильный выбор методов, необходимо представлять их особенности. Разделим все методы факторного анализа на несколько классификационных групп:
- Метод главных компонент. Строго говоря, его не относят к факторному анализу, хотя он имеет с ним много общего. Специфическим является, во-первых, то, что в ходе вычислительных процедур одновременно получают все главные компоненты и их число первоначально равно числу элементарных признаков. Во-вторых, постулируется возможность полного разложения дисперсии элементарных признаков, другими словами, ее полное объяснение через латентные факторы (обобщенные признаки).
- Методы факторного анализа. Дисперсия элементарных признаков здесь объясняется не в полном объеме, признается, что часть дисперсии остается нераспознанной как характерность. Факторы обычно выделяются последовательно: первый, объясняющий наибольшую долю вариации элементарных признаков, затем второй, объясняющий меньшую, вторую после первого латентного фактора часть дисперсии, третий и т.д. Процесс выделения факторов может быть прерван на любом шаге, если принято решение о достаточности доли объясненной дисперсии элементарных признаков или с учетом интерпретируемости латентных факторов.
Методы факторного анализа целесообразно разделить дополнительно на два класса: упрощенные и современные аппроксимирующие методы.
Простые методы факторного анализа в основном связаны с начальными теоретическими разработками. Они имеют ограниченные возможности в выделении латентных факторов и аппроксимации факторных решений. К ним относятся:
- однофакторная модель. Она позволяет выделить только один генеральный латентный и один характерный факторы. Для возможно существующих других латентных факторов делается предположение об их незначимости;
- бифакторная модель. Допускает влияние на вариацию элементарных признаков не одного, а нескольких латентных факторов (обычно двух) и одного характерного фактора;
- центроидный метод. В нем корреляции между переменными рассматриваются как пучок векторов, а латентный фактор геометрически представляется как уравновешивающий вектор, проходящий через центр этого пучка. : Метод позволяет выделять несколько латентных и характерные факторы, впервые появляется возможность соотносить факторное решение с исходными данными, т.е. в простейшем виде решать задачу аппроксимации.
Современные аппроксимирующие методы часто предполагают, что первое, приближенное решение уже найдено каким либо из способов, последующими шагами это решение оптимизируется. Методы отличаются сложностью вычислений. К этим методам относятся:
- групповой метод. Решение базируется на предварительно отобранных каким-либо образом группах элементарных признаков;
- метод главных факторов. Наиболее близок методу главных компонент, отличие заключается в предположении о существовании характерностей;
- метод максимального правдоподобия, минимальных остатков, а-факторного анализа канонического факторного анализа, все оптимизирующие.
Эти методы позволяют последовательно улучшить предварительно найденные решения на основе использования статистических приемов оценивания случайной величины или статистических критериев, предполагают большой объем трудоемких вычислений.