2

Міністерство освіти і науки україни

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

„ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до лабораторних занять з курсу “Теоретична механіка ”

для студентів спеціальностей ФТ-факультету

Комп’ютерний лабораторний практикум

Лабораторна робота 2

ДОСЛІДЖЕННЯ КІНЕМАТИКИ ПЛОСКОГО РУХУ СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТІЛ

Затверджено

редакційно-видавничою

радою університету,

протокол № ____ від ____

Харків НТУ “ХПІ” 2012

Методичні вказівки до лабораторних занять з курсу “Теоретична механіка” для студентів спеціальностей ФТ-факультету. Комп’ютерний лабораторний практикум. Лабораторна робота 2 «Дослідження кінематики плоского руху системи твердих тіл» // Укл. Д.В. Лавінський. – Харків: НТУ “ХПІ”, 2012. – с .

Укладач: Д.В. Лавінський

Рецензент В.М. Адашевський

Кафедра теоретичної механіки

Лабораторна робота 2

ДОСЛІДЖЕННЯ КІНЕМАТИКИ ПЛОСКОГО РУХУ СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТІЛ

Цілі, об’єкт, предмет та методи досліджень:

Ціль роботи є вивчення закономірностей плоско-паралельного руху системи Твердих тіл (кривошипно-шатунного механізму).

Об’єктом досліджень є ППР кривошипно-шатунного механізму.

Предметом досліджень є кінематичні характеристики (кутові швидкості та кутові прискорення) елементів механізму, а також кінематичні характеристики (траєкторії, швидкості та прискорення) характерних точок механізму.

Методи досліджень містять: аналітичне та комп’ютерне моделювання

Теоретичний матеріал

Плоско-паралельним або плоским називають рух твердого тіла, при якому всі точки тіла рухаються у площинах, паралельних до деякої нерухомої площини, як показано на рис. 1. Цю нерухому площину прийнято називати основною площиною.

Рисунок 1. Модель плоско-паралельного руху

Плоско-паралельний рух тіл є одним з найбільш поширених у техніці. Такий рух здійснюють тіла кочення (колеса, катки, циліндри); окремі деталі механізмів, призначених для перетворення обертального руху одного тіла в поступальний; шестерні планетарних передач тощо. Для опису плоского руху тіла достатньо описати рух проекції твердого тіла на основну площину. Цю проекцію прийнято називати плоскою фігурою (див. рис. 1). Рух плоскої фігури можна розглядати як результат складання поступального руху і обертання навколо однієї з точок, яку називають полюсом. У якості полюса прийнято обирати точку тіла, кінематичні характеристики руху якої відомі. На рис. 2 полюсом є точка А.

Рисунок 2. Визначення координат довільної точки тіла при плоско-паралельному

русі

Рівняння плоско-паралельного (плоского) руху мають наступний вигляд:

, (1)

де– координати полюсу у нерухомій системі координат;– кут повороту навколо полюсу. Положення будь-якої точки тіла, що не співпадає з полюсом, може бути визначено двома способами:

– з одного боку, якщо задано відрізок , то закон руху точкинабуває наступного вигляду

(2)

де – координатиточки у нерухомій системі координат; –кут, що утворює відрізок з віссюрухомої системи координат. Оскільки рухома система координат пов’язана з точками твердого тіла, то кут при русі тіла залишається постійним (див. рис. 2,а);

– з іншого боку, можна скористатися формулами зв’язку при повороті однієї системи координат відносно іншої

(3)

де– координати точки у рухомій системі координат, які залишаються незмінними у процесі руху.По рівняннях руху точки (2) або (3) можуть бути визначені траєкторія точки, її швидкість і прискорення по наступних формулах:

(4)

де – вектор швидкості точки, – його проекції на координатні осі, – модуль (величина) швидкості точки; – вектор повного прискорення точки; – його проекції на координатні осі; – модуль (величина) повного прискорення точки.

Також, кінематичні характеристики точки тіла при плоско-паралельному русі можуть бути визначені за допомогою векторного способу. У цьому разі вектор швидкості визначають наступним чином:

(5)

де – проекції вектору швидкості полюсу на осі нерухомої системи координат;– вектор та модуль кутової швидкості тіла. Вектор прискорення

(6)

де – проекції вектору прискорення полюсу на осі нерухомої системи координат;– вектор та модуль кутового прискорення тіла. Слід зауважити, що вектори кутової швидкості тілата його кутового прискоренняпри плоско-паралельному русі увесь час перпендикулярні до основної площини. Звідси можна отримати зручні формули для визначення кутової швидкості та кутового прискорення тіла при його плоско-паралельному русі за відомими швидкостями і прискореннями двох його точок

(7)

Якщо проаналізувати теорію плоско-паралельного руху твердого тіла, то можна зробити деякі висновки.

В и с н о в о к 1. Проекції швидкостей та прискорень точок тіла на пряму, що з’єднує ці точки, рівні поміж собою.

В и с н о в о к 2. У будь-який момент руху плоскої фігури уздовж основної площини існує точка, швидкість якої дорівнює нулю. Цю точку називають миттєвим центром швидкостей (прийняте скорочення – МЦШ).

МЦШ знаходиться на перетині перпендикулярів до векторів швидкостей точок (рис. 3), тоді по відомій швидкості однієї з точок і її відстані до МЦШ спочатку визначають кутову швидкість і напрям обертання плоскої фігури, а потім – величинута напрям швидкості іншої точки.

Рисунок 3. Загальний випадок визначення положення МЦШ

До типових випадків визначення МЦШ відносять наступні:

1) коли кочення колеса відбувається без прослизання по нерухомій поверхні (рис.4). У кожен момент руху тіла при його коченні без ковзання МЦШ – це точка дотику тіла з нерухомою поверхнею. Кутову швидкість колеса визначають з відношення швидкості центру колеса до його радіусу;

Рисунок 3.8. Визначення положення МЦШ та миттєвої кутової швидкості та прискорення при коченні колеса

2) коли відомі напрями руху двох точок тіла; коли вектори швидкостей точок паралельні між собою і перпендикулярні відрізку, що з’єднує точки. Це часто зустрічається, якщо визначають кутові швидкості тіл кочення, як на. МЦШ знаходиться на перетині лінії, що з’єднує точки, і тієї лінії, що з’єднує кінці векторів швидкостей точок. Величині швидкостей точок при цьому мають бути відомі. При протилежному направленні векторів швидкостей (рис. 5,б) МЦШ розташований між точками, швидкості яких відомі; при однаковому направленні – з боку меншої швидкості та на продовженні відрізку, що з’єднує точки;

3) коли вектори швидкостей точок паралельні між собою та не перпендикулярні відрізку, що їх з’єднує (див. рис. 6). В цьому випадку прийнято говорити про миттєво поступальний рух тіла, тому кутова швидкість тіла дорівнює нулю, а швидкості усіх його точок рівні між собою. Слід додати також, що рівність швидкостей спостерігається лише на даний момент руху тіла, але у той же час прискорення точок тіла різні.

а) б)

Рисунок 5. Визначення МЦШ, якщо вектори швидкостей двох точок тіла перпендикулярні до прямої, яка їх з’єднує:

а) вектори спрямовані у один і той самий бік;

б) вектори спрямовані у протилежні боки

Рисунок 6. Випадок миттєво поступального руху