Питання для самоконтролю

1. Що вивчається в кінематиці точки ?

2. Що містить в собі система відліку ?

3. Що таке закон і траєкторія руху точки ?

4. Як задати закони руху в декартових координатах ?

5. Як задати закони руху в полярних координатах ?

6. Як задати закони руху в натуральних координатах ?

7. Як задати рівняння траєкторії в декартових і натуральних координатах ?

8. За якими формулами визначається швидкість точки, якщо рух точки задано в декартових координатах ?

9. За якими формулами визначається швидкість точки, якщо рух точки задано в полярних координатах ?

10. За якими формулами визначається швидкість точки, якщо рух точки задано в натуральних координатах ?

11. За якими формулами визначається пришвидшення точки, якщо рух точки задано в декартових координатах ?

12. За якими формулами визначається пришвидшення точки, якщо рух точки задано в полярних координатах ?

13. За якими формулами визначається пришвидшення точки, якщо рух точки задано в натуральних координатах ?

14. Що означає інваріантність векторів швидкості і пришвидшення?

15. За якими формулами здійснюють перехід до полярних й натуральних координат, якщо закон руху у площині задано в декртових координатах?

16. Що таке кривина траєкторії руху точки і як її визначити, , якщо закон руху у площині задано в декртових координатах?

17. Чим відрізняються плоскі та просторові криві ?

18. Який рух точки, відповідає траєкторіям, що названі фігурами Ліссажу ?

19. Які параметри входять в параметричні рівняння декртового закону руху точки, відповідного руху по траєкторіям фігур Ліссажу ?

20. Які траєкторії описує точка, яка здійснює одночасно два синхронні гармонічні коливання у двох взаємно ортогональних напрямах ? За якими умовами ці траєкторії є пряма, гіпербола, коло та еліпс ?

21. Які траєкторії описує точка, що здійснює одночасно два ортогональних гармонійних коливання? За якими умовами ці траєкторії є замкнені або незамкнені складні криві Ліссажу ?

22. Які форми набуває траєкторія точки, що здійснює одночасно два ортогональних гармонійних коливання з періодами, для котрих — є цілі (парні й непарні) числа? Як встановити кількість перетинів цих траєкторій з осями декартових координат ?

23. Як впливає на рух точки, що здійснює одночасно два гармонійних ортогональних коливання, якщо частоти обох коливань неточно збігаються ?

24. Як впливає на рух точки, що здійснює одночасно два ортогональних гармонійних коливання, якщо відношення частот обох коливань неточно збігаються з цілим числом ?

Компютерне моделювання кінематики точки, що здійснює одночасно два ортогональних коливання

Розглянемо рух точки, яка здійснює одночасно два гармонійних коливання у двох взаємно ортогональних напрямках, як показано на рис. 3. Використовуючи засоби ПК КіДиМ, визначимо для неї кінематичні характеристики: траєкторії, вектори та годографи швидкості й прискорення при русі точки по незамкненим та замкненим траєкторіям. При моделюванні розглянемо завдання руху точки по простим траєкторіям – прямим та спіралям, по колу, еліпсам та гіперболам, а далі, по складним траєкторіям – фігурам Ліссажу.

Рисунок 3.3. Загальний вигляд траєкторії точки, яка здійснює одночасно два гармонійні коливання у двох взаємно ортогональних напрямках

Фігури Ліссажу – траєкторії,які окреслює точка, котра здійснює одночасно двагармонійних коливання у двох взаємно ортогональних напрямках (див. рис. 3). Уперше ці фігури були вивчені французьким ученим Ж. Ліссажу (J. Lissajous, 1822-1880 рр.). Якщо рух точки супроводжується взаємно ортогональними коливаннями, то закон її руху можна задати радіус-вектором

або у декартових координатах

,

де – амплітуди коливань; –частоти; – початкові фази. Подібні коливання можуть бути синхронними (при ) танесинхронними (при ).У випадку синхронних коливань, виключивши із закону руху за допомогою тригонометричних перетворень час , отримаємо рівняння траєкторії руху точки у декартових координатах

,

яке є рівнянням еліпсу (кола – при ). Півосі еліпсу є повернутими відносно координатних осей у залежності від різниці початкових фаз . Якщо, маємо класичне рівняння еліпсу (кола – при ), півосі якого паралельні координатним осям. Якщо , маємопряму лінію з кутом нахилудо осі. Подібним чином можна одержати рівняння гіперболи, параболи тощо. Слід відзначити, що у даному випадку траєкторії, навіть, у вигляді прямих, парабол та гіпербол будуть обмеженими, що обумовлюється періодичністю коливань.

У випадку несинхронних коливань, вид фігур залежить від співвідношення між частотами, фазами іамплітудамиобох коливань. Якщо частоти відносяться як цілі (парні й непарні) числа, то через проміжок часу, рівний найменшому кратному обох періодів коливань, рухома точка знову повертається у вихідне положення– отримуємо складні форми фігур Ліссажу. Приклади фігур Ліс сажу, надані на рис. 4.

Фігури Ліссажу вписуються в прямокутник, центр якого збігається з початком координат, сторони паралельні осям координат і віддалені від них на відстанях, рівних амплітудам коливань (див. рис. 4). Число перетинів фігури з осями та буде дорівнювати цілим значенням – і відповідно. На рис. 4 схеми фігур (зліва направо) відповідають таким відношенням . Слід зауважити, якщо відношення є рівним непарному числу, то криві будуть незамкненими, але рухома точка буде повертатися в точку перетину координатних осей, звідки рух починається.

Рисунок 4. Схеми фігур Лісажу

Далі розглянемо файл вихідної інформації (табл. 1) для моделювання кінематики точки, яка здійснює одночасно два гармонійні коливання у двох взаємно ортогональних напрямках. Розглянувши цей файл та використавши його за допомогою ПК КіДиМ, студент може наочно ознайомитись з різними формами траєкторій, які відповідають окремим випадкам фігур Лісажу. Крім того, можна дослідити закономірності стосовно основних кінематичних характеристик руху точки.

Прийняті у тексті файлу позначення можуть бути розшифровані наступним чином: V – швидкість руху точки, яка визначається за формулами (1), A – прискорення руху точки, яке визначається за формулами (4), At, An – дотичне та нормальне прискорення, які визначається за формулами (8), AN1– прискорення руху точки, яке визначається через At та An, kr – кривина траєкторії, s – дугова (натуральна) координата, яка визначається із розв’язку відповідного диференційного рівняння, VN, as, an, AN – швидкість, дотичне, нормальне та повне прискорення руху точки, які визначають за формулами (3) та (6).

Завдання

1. Розглянути оригінальний вихідний файл «LAB_1_1.kdm», зміст якого надано нижче, та коментарі до якого надаси викладач на занятті.

2. Освоїти послідовність завдань до досліджень закономірностей руху точки по простим траєкторіям в декартових та натуральних координатах:

• встановити інваріантність траєкторії, векторів швидкості й пришвидшення;

• встановити інваріантність годографів швидкості й пришвидшення;

• за варіюванням параметрів в заданому декартовому законі руху точки встановити якісні й кількісні зміни виду її траєкторії, швидкості й пришвидшення;

2. Освоїти послідовність завдань до досліджень закономірностей руху точки по складним траєкторіям - кривим фігур Ліссажу в декартових та натуральних координатах:

• встановити інваріантність траєкторії, векторів швидкості й пришвидшення;

• встановити інваріантність годографів швидкості й пришвидшення;

• за варіюванням геометричних параметрів в заданому декартовому законі руху точки встановити якісні й кількісні зміни виду її траєкторії, швидкості й пришвидшення.

«L1.kdm»

ТЕКСТ ВИХІДНОГО ФАЙЛУ	КОМЕНТАР
РАБОТА:=ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1; ВЫПОЛНИЛ:=Петров С.С.,И-16а;	Назва роботи та виконавець (обов’язково).
#1 - Декартовый закон движения# X=a*sin(n1*t); Y=b*sin(n2*t+fi); T=2*pi;	Закон циклічного руху: a,b – амплітуди, n1, n2 - кругова частота fi - вихідна фаза; Т - тривалість руху.
#Проекции и значения скорости и ускорения# VX=X't; VY=Y't; V=sqrt(VX^2+VY^2); AX=VX't; AY=VY't; A=sqrt(AX^2+AY^2); #Переход к натуральным координатам# At=(AX*VX+AY*VY)/V; An=abs(AX*VY-AY*VX)/V; AN1=sqrt(At^2+An^2); VN1=sqrt(X't^2+Y't^2); kr=An/V^2;	Розрахункові дані швидкості й пришвидшення точки; Перехід до натуральних координат (компоненти пришвидшення й швидкості, - кривина і- радіус кривини траєкторії)
#2 - Натуральные координаты# #Натуральный закон движения S"=At#	Для визначення закону треба інтегрувати рівняння руху:
J.s=1; P.s=At;	J.s S’’=P.s; J.s=1; P.s=At;
#Проекции и значения скорости и ускорения # VN=s't; as=s't't; an=VN^2*kr; AN=sqrt(as^2+an^2);	Розрахункові дані швидкості й пришвидшення точки;
#ЗАДАНИЯ К КОМПЮТЕРНОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ# #1 - ДВИЖЕНИЕ ПО ПРЯМОЙ ЛИНИИ# a=1; b=1; n1=1; n2=1; fi=0; #a=1; b=1; n1=1; n2=1; fi=-pi;#	Завдання до досліджень: 1 – синхронні коливання: рух по прямій (n1=n2, fi = 0, - pi): arctg(a/b) – кут нахилу прямої до осі x.
#2 - ДВИЖЕНИЕ ПО СПИРАЛИ# #a=t; b=t; n1=1; n2=1; fi=pi/2;# #a=t; b=t; n1=1; n2=1; fi=pi/2; T=4*pi;# #a=t; b=t; n1=1; n2=1; fi=pi/2; T=8*pi;#	2 – синхронні коливання: рух по спіралі (n1=n2, a = t, b=t, fi=pi/2).
#3 - ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ, ЭЛЛИПСУ И ГИПЕРБОЛЕ# #a=1; b=1; n1=1; n2=1; fi=pi/2;# #a=1; b=0.5; n1=1; n2=1; fi=pi/4;# #a=0.5; b=1; n1=1; n2=1; fi=3*pi/4;# #a=1; b=1; n1=1; n2=2; fi=pi/2;# #a=1; b=-1; n1=1; n2=2; fi=pi/2;#	3 – синхронні коливання: рух по колу (n1=n2, fi = pi/2) радіусу r=a=b; еліпсу (n1=n2, fi = (¼, ¾) pi) із півосями - a, b; гіперболі (n1=1, n2=2, fi = ½ pi ).
#4 - ДВИЖЕНИЕ ПО НЕЗАМКНУТЫМ КРИВЫМ <ФИГУРЫ ЛИССАЖУ> # #a=1; b=1; n1=1; n2=3; fi=0;# #a=1; b=1; n1=3; n2=1; fi=0;# #a=1; b=1; n1=3; n2=5; fi=0;#	4 – несинхронні коливання: рух по незамкненим на себе траєкторіям (n1:n2 = 1/3, 3, 3/5, fi=0 ).
#5 - ДВИЖЕНИЕ ПО ЗАМКНУТЫМ КРИВЫМ <ФИГУРЫ ЛИССАЖУ> # #a=1; b=1; n1=1; n2=2; fi=0;# #a=1; b=1; n1=1; n2=4; fi=0;# #a=1; b=1; n1=2; n2=5; fi=0;# #a=1; b=1; n1=4; n2=5; fi=0;#	5 – несинхронні коливання: рух по замкненим на себе траєкторіям (n1:n2 = 1/3, 3, 3/5, fi=0 ).
#ИНСТРУКЦИИ К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ДАННЫХ РАСЧЕТА# #Выбор начальных условий и интервала движения# НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ:=t(0.001),s(0),s't(VN1(0)); КОНЕЧНЫЕ УСЛОВИЯ:=t(T); СРАВНИТЬ:=r(kr,X,Y), r1(VX,VY), r2(AX,AY,an,An), r3(AX,AY,as,At), r4(A,AN1,AN), r5(V,VN1,VN); ПОКАЗАТЬ:=Y(X), VY(VX), AY(AX), s; РАСЧЕТ:=ПЕЧАТЬ УРАВНЕНИЙ; КОНЕЦ;	Інструкції до виду розрахунків (обов’язково). Вибір вихідних умов і тривалості руху: ,,. Подання результатів за завданням у наглядній формі (порівняння на графіках й графіки (таблиці).