5.Інтегрування тригонометричних функцій.

Інтеграли виду , де раціональна функція двох змінних, приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументуtпідстановкоюяка називається універсальною. При цьому використовуються формули.

Універсальна тригонометрична підстановка, раціоналізуючи інтеграл часто приводить до раціональних дробів з великими степенями. Тому в багатьох випадках користуються іншими підстановками. Наведемо деякі з них:

1. раціоналізується підстановкою;

2. раціоналізується підстановкою;

3. раціоналізується підстановкою

4. 

а) якщо функція Rнепарна відносно,то функція раціоналізується підстановкою

б) якщо функція Rнепарна відносно,то функція раціоналізується підстановкою

в) якщо функція Rпарна відносно зразута,то функція раціоналізується підстановкою

г) якщо функція то функція раціоналізується за допомогою універсальної тригонометричної підстановки.

5) 

а) якщо nціле додатне непарне число, то підстановка

б) якщо mціле додатне непарне число, то підстановка

в) якщо m і nцілі додатні парні числа, то застосовують формули пониження степеня:

г) якщо m і n – цілі парні числа, але хоча б одне з них від’ємне, або коли m і n – цілі непарні і від’ємні числа, то використовується підстановка

6. інтеграли виду обчислюються за допомогою тригонометричних формул перетворення добутку функції в суму:

   1. 

   2. ;

   3. .

Приклад 27. .

Рішення. Тут використовується універсальна тригонометрична підстановка.

.

Приклад 28. .

Рішення. Підінтегральна функція парна відносно sinxіcosx, тобто

,

використаємо підстановку

.

Приклад 29. .

Рішення. Підінтегральна функція непарна відносно sinx:

використаємо підстановку

=

Приклад 30.

Рішення.

Приклад 31.

Рішення. Цей інтеграл виду деє парне від’ємне число, тому використаємо підстановку

Приклад 32.

Рішення. Тут використаємо формули пониження степеня.

Приклад 33.

Рішення. Цей інтеграл можна обчислити двома способами.

Перший спосіб – застосування формули пониження степеня.

Другий спосіб– застосування рекурентної формули

тоді

6.Інтегрування гіперболічних функцій.

Інтегрування гіперболічних функцій

виконується аналогічно інтегруванню тригонометричних функцій. При цьому використовуються такі формули:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. .

Приклад 34.

Рішення.

Приклад 35.

Рішення.

Приклад 36.

Рішення.

Приклад 37.

Рішення.

7. Інтегрування диференціальних біномів.

Вираз виду деm,n,p – сталі раціональні числа, називається диференціальним біномом. Російський математик П.Л.Чебишев у 1853 р. показав, що інтеграли від диференціального біномавиражаються через інтеграли від раціональної функції відносно нової змінної лише в тому випадку, якщо одне з чиселє цілим. Ці інтеграли зводяться до вже розглянутих за допомогою таких підстановок:

1. P – ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановку де s– найменший спільний знаменник дробівmіn;

2. ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановку, деr– знаменник дробуp.

3. ціле число (додатне, від’ємне чи 0), виконуємо підстановкудеr– знаменник дробуp.

В інших випадках інтеграл від диференціального бінома через елементарні функції не виражається.

Приклад 38.

Рішення. Тут m=3, n=2, Оскільки є ціле число, використовуємо підстановку тобто

Приклад 39.

Рішення. Так як тоОскількиє ціле число, то виконуємо підстановкутобто