3. Найпростіші інтеграли, які містять у знаменнику

квадратний тричлен.

а) Інтеграли виду зводяться до табличних за допомогою підстановкиабо виділенням повного квадрата в квадратному тричлені. ЯкщоM=0, то інтеграл зводиться до табличного інтеграла виду 11 або 13 з таблиці основних інтегралів.

Приклад 17. .

Рішення.

.

Якщо , то з численника виділяється похіднаквадратного тричлена.

і таким чином, ми приходимо до інтеграла, розібраного вище.

Приклад 18. .

Рішення..

б) Інтеграли виду також зводяться до табличних інтегралів за допомогою підстановки, або виділенням повного квадрата в квадратному тричлені.

Приклад 19..

Рішення. .

Приклад 20..

Рішення.

.

Покажемо, що подібні інтеграли можна розв’язувати методом заміни змінної.

Приклад 21. .

Рішення.

.

Приклад 22. .

Рішення.

.

4. Інтегрування раціональних дробів.

Якщо підінтегральна функція є неправильний дріб, то необхідно виділити з нього цілу частину, тобто . Знаменник правильного дробу розкладається на множники видуі, деm і n  цілі додатні числа. Тоді правильний дріб записується у вигляді суми елементарних дробів таким чином :

.

Тут P(x) багаточлен, який має степінь нижчий від степеня знаменника. A₁,…,A_m,M₁,…,M_n,N₁,…,N_n  деякі невизначні дійсні числа.

Якщо у знаменнику маємо кратні комплексні корені, то використовують рекурентну формулу:

.

4.1 Розглянемо випадок, коли знаменник розкладається на лише неповторні дійсні множники першого степеня.

Приклад 23. .

		5

Рішення. Підінтегральна функція є неправильний дріб, тому виділяємо цілу частину:

Таким чином,

.

Ми одержали правильний дріб, який тепер можемо розкласти на суму елементарних дробів

.

Знаходимо невизначені коефіцієнти (A, B, C), приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники. Одержимо тотожність

.

У цьому випадку доцільно використовувати метод находження невизначених коефіцієнтів, надаючи х значення коренів і підставляючи їх у тотожність.

Таким сином, значення коефіцієнтів знайдено спрощеним способом. Знаходимо шуканий інтеграл

4.2 Розглянемо випадок, коли знаменник має тільки дійсні корені, деякі з них кратні.

Приклад 24. .

Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи на суму елементарних дробів, одержимо

.

Приведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо чисельники, одержимо

.

При знаходженні коефіцієнтів (А, В, С) використаємо два методи, комбінуючи метод поодиноких значень коренів та метод порівняння коефіцієнтів при однаковому степені змінної х. Тобто,

	2=А

Одержимо А=2, ,. Знаходимо шуканий інтеграл:

.

4.3 Розглянемо випадок, коли знаменник має комплексні різні корені.

Приклад 25. .

Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи на суму дробів, маємо: .

Приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюючи чисельники, одержимо

,

.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, знайдемо

Знайдемо шуканий інтеграл

.

4.4 Розглянемо випадок, коли знаменник має комплексні кратні корені.

Приклад 26. .

Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи дріб на суму елементарних дробів, маємо

.

Приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюючи чисельники, одержимо

.

Комбінуючи методи, знайдемо невизначені коефіцієнти:

.

	2=4А,
	,

Одержали коефіцієнти . Знайдемо шуканий інтеграл:

Інтеграл знаходиться за допомогою рекурентної формули, тобтотоді