Передмова

Метою розрахунково-графічного завдання (РГЗ) є оволодіння студентами основних прийомів та методів числення невизначених інтегралів.

Операція інтегрування є зворотною по відношенню до диференціального числення і, як будь-яка зворотна операція, є більш складною. Студент повинен оволодіти багатьма прийомами та навиками, знати стандартні методи числення деяких класів інтегралів, а також вміти пристосовувати різні штучні прийоми. Це досягається практикою, яка повинна безперервно супроводжуватись вивченням теоретичного матеріалу.

У РГЗ перед умовами задач даються короткі теоретичні відомості, які містять основні формули, означення і деякі алгоритми.

З метою надання допомоги студентам в організації самостійної роботи при виконанні РГЗ пропонується розв’язок деяких типових прикладів.

При захисті студент повинен пояснити операції що робилися при виконанні РГЗ.

Навчальний посібник містить довідковий матеріал з елементарної математики та список рекомендованої літератури.

Методичні вказівки до виконання розрахункових завдань

1. Поняття невизначеного інтеграла.

Функція F(x)первісною функції f(x) на проміжку (a;b), якщо F(x)диференційована на проміжку (a;b) і для всіх .

Якщо F(x)  первісна функції f(x) на проміжку (a;b), то всяка інша первісна функції f(x) на цьому проміжку має вигляд , деС  довільна стала.

Якщо F(x)  первісна функції f(x) на проміжку (a;b) і С  довільна стала, то множина всіх первісних функційf(x) називається невизначеним інтегралом функції f(x) на цьому проміжку і позначається символом . Отже, за означенням:

, якщо ,.

2. Основні властивості невизначного інтеграла.

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. , де m  довільна стала;

   5. .

3. При знаходженні невизначених інтегралів важливу роль виконує таблиця основних інтегралів, яку слід запам’ятати.

   1. , де .

   2. .

   3. .

   4. .

   5. .

   6. .

   7. .

   8. .

   9. .

   10. .

   11. .

   12. .

   13. .

   14. .

   15. .

   16. .

   17. .

   18. .

   19. .

   20. .

   21. .

   22. .

   23. .

   24. .

   25. .

Огляд методів інтегрування.

1. Метод підстановки (заміна змінної).

а) Інтеграл записують у вигляді:

,

тоді:

.

У цьому разі їдеться про “введення функції під знак диференціала”: .

б) Інтеграл зображають у вигляді:

,

де функція має обернену функціюі для функціївідома первісна, тоді:

.

У цьому разі йдеться про “виведення функції з-під знака диференціала”: .

в) Для табличних інтегралів існують такі формули:

1. ;

2. ;

3. .

Приклад 1. .

Рішення.

.

Приклад 2. .

Рішення.

.

Приклад 3.

Рішення. .

Приклад 4. .

Рішення.

.

Приклад 5.

Рішення.

.

У прикладах (1-5) інтеграли обчислювалися користуючись інваріантністю формули інтегрування (підведенням під знак диференціала).

У прикладах (6-8) ми розглянемо метод заміни змінної.

Приклад 6.

Рішення.

.

Приклад 7. .

Рішення.

.

Приклад 8. .

Рішення.

.

2. Метод інтегрування частинами. Якщо та функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:

.

Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі типи інтегралів:

а) інтеграли виду ,,, деP(x)  багаточлен, а   дійсне число. У цих інтегралах за u слід взяти множник P(x), а за  вираз, що залишився;

б) інтеграли виду ,,,, деP(x)  багаточлен. У цих інтегралах слід взяти за ;

в) інтеграли виду ,,,, деk і   дійсні числа. В даному випадку після застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.

Приклад 9. .

Рішення.

.

Приклад 10. .

Рішення.

.

Приклад 11. .

Рішення.

.

Приклад 12. .

Рішення.

.

Приклад 13. .

Рішення.

.

Часто метод інтегрування частинами застосовується разом з методом заміни змінної.

Приклад 14. .

Рішення.

.

Розглянемо інтеграли, які при застосуванні формули інтегрування частинами утворюють лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла.

Приклад 15. .

Рішення.Позначимо шуканий інтеграл через I.

.

Таким чином, одержали рівняння відносно шуканого інтеграла I. Розв’язавши це рівняння:

,

одержимо: .

Такі інтеграли можна також розв’язувати методом заміни змінної (про це мова піде далі).

Розглянемо ще один зворотній інтеграл.

Приклад 16. .

Рішення. Як і в попередньому випадку позначимо шуканий інтеграл через I.

,

,

,

.