3. Вывод основного уравнения надежности для невосстанавливаемых деталей

Для количественной оценки надежности используют критерии и по­казатели, базирующиеся на статистических данных. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, т.е. когда в результате проведения n опытов заранее неизвестно, сколько раз может произойти событие А, существует понятие частоты события А.

Частота события называется статистической вероятностью и обо­значается Р*(А) в отличие от математической вероятности Р(А):

Р*(А) = m/n, (1.11)

где m – число появлений события А; n – количество проведенных опытов. При увеличении числа опытов частота события Р*(А) схо­дится по вероятности с вероятностью события Р(А).

Располагая данными статистики отказов, можно определить ста­тистическую вероятность безотказной работы за время t, как отно­шение числа изделий, продолжающих исправно работать к моменту t, к числу изделий, поставленных на испытание:

, (1.12)

а вероятность отказа:

. (1.13)

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу изделий, продолжающих оста­ваться исправными к началу рассматриваемого промежутка времени:

, (1.14)

где n – число изделий, отказавших за время t; N(t); – число исправно работающих изделий к началу промежутка времени Δt.

В формуле (1.13) произведем умножение числителя и знаменателя на N₀ – количество изделий, поставленных на испытания:

. (1.15)

В формуле (1.14) отношение есть статистическая вероятность отказа в промежутке Δt, которая является приращением функции рас­пределения, т.е. приращением вероятности отказа в промежутке Δt:=P*(Δt)=P*(t).

Отношение N(t)/N₀ есть статистическая вероятность безотказной работы за время t от начала испытаний Р*(t). Следовательно,

. (1.16)

Переходя к пределу (Δt → 0), имеем:

. (1.17)

Учитывая, что при возрастании количества испытываемых изделий статистические значения сходятся с математическими, получаем:

. (1.18)

Интенсивность отказов, называемая иначе λ-характеристикой, ши­роко используется для характеристики надежности элементов. Интен­сивность отказов показывает, какая часть изделий по отношению к числу работающих выходит из строя в единицу времени (обычно в 1 ч).

Вероятность безотказной работы P(t), т.е. вероятность того, что за время Т<t не произойдет отказа, можно найти, как вероятность события, противоположного отказу, т.е.

P(t)=1 –(t). (1.19)

Отсюда очевидно, что:

(t)=1 - P(t). (1.20)

Продифференцировав обе части выражения (20) по времени, по­лучим:

. (1.21)

Тогда формула интенсивности отказов (18) принимает вид:

. (1.22)

Проинтегрировав обе части равенства (22), полагая для упроще­ния записи λ(t)=λ, получим:

=– =–lnP(t), или lnP(t)=–.(1.23)

Так как при t=0 LnР(t)=0, то Р(t)=1.

В результате получаем:

Р(t) = e¯. (1.24)

Уравнение (1.24) есть основной формулой надежности системы или элемента невосстанавливаемых изделий. При выводе этой формулы на интенсивность отказов λ не накладывалось никаких ограничений, поэтому она может быть любой интегрируемой по времени функ­цией. Следовательно, уравнение (1.24) выражает надежность в наибо­лее общей форме, которая может применяться для любых видов рас­пределения отказов. Для случая внезапных отказов, когда λ=const, –=-λ(t), получим выражение для экспоненциального закона надежности:

Р(t) = е^– или Р(t) = exp - λt. (1.25)

Л. 5-6