2. Основные теоремы теории вероятностей

Для определения вероятностей событий применяются не непосред­ственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Косвенные методы используют основные теоремы теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероят­ностей и теорема умножения вероятностей. Прежде чем сформулировать основные теоремы, введем вспомо­гательные понятия о сумме событий и произведении событий. Сум­мой двух событий А и В называется событие С, состоящее в вы­полнении события А или события В, или обоих вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, со­стоящее в совместном выполнении события А и события В. Про­изведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. При определении ве­роятностей приходится часто представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложе­ния, и операцию умножения событий.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме веро­ятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1.2)

Следствия этой теоремы: 1. Если события А₁, А₂, ... , А_n, образуют полную группу несов­местных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Р(А_i) = 1. (1.3)

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А)+Р(Ā) = 1. (1.4)

Отсюда следует, что противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу (частный случай следствия 1).

Теорема умножения вероятностей

Введем понятие о независимых и зависимых событиях. Событие А на­зывается независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в за­висимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А|В).

Теорема умножения вероятностей формулируется так: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Р(АВ)=Р(А) Р(А|B). (1.5)

Отметим следствия, вытекающие из теоремы умножения. 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Отсюда следует определение независимых со­бытий. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости двух событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

2. Вероятность произведения двух независимых событий равна про­изведению вероятностей этих событий. Теорема умножения вероятно­стей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А₁ А₂ ... А_n)=Р(А₁) Р(А₂|А₁) Р(Aз|A₁ A₂) x...x Р(A_n|A₁ A₂ ... A_n-1). (1.6)

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

Р(А₁ А₂ ... А_n )=Р(А₁) Р(A₂) ... Р(A_n), (1.7)

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произве­дению вероятностей этих событий.

Рассмотрим пример применения теоремы умножения вероятностей. Надежность сложного (составного) устройства может быть рассчитана, исходя из значений надежности отдельных его эле­ментов и надежности различных комбинаций этих элементов. С точки зрения надежности различают последовательное и параллельное соединения. Смешанное соединение может быть представлено в виде комби­нации последовательного и параллельного соединений. Для последо­вательного соединения элементов составного устройства надежность его оценивается произведением надежности всех последовательно сое­диненных элементов, т.е. когда события независимы, на основании формулы (1.7) можно записать:

. (1.8)

Поскольку Р_i < 1, то очевидно, что надежность составного устрой­ства всегда ниже надежности своего самого ненадежного элемента и что, добавление каждого нового последовательно соединенного эле­мента снижает надежность всего устройства.

Например, изделие со­стоит из двух элементов А и В, обладающих одинаковой вероятностью безотказной работы, равной 0,9. В этом случае надежность изделия Р(АВ)=Р(А)×Р(В)=0,9×0,9=0,81.

При параллельном соединении элементов вероятность отказа устройства определяется той же теоремой умножения, вероятностей отказа каждого элемента. Вероятность отказа при этом:

. (1.9)

Вероятность безотказной работы или другими словами надежность устройства:

. (1.10)

Отсюда можно сделать следующие выводы. Во-первых, при па­раллельном соединении элементов устройства добавление каждого последующего элемента повышает надежность всего устройства, по­тому что всегда 1-P_i <1 и при умножении на (1-P_i) вычитаемая величина уменьшается. Во-вторых, надежность составного устройства всегда выше надежности самого надежного элемента из параллельно соединенных.

Итак, надежность систем при параллельном соединении элементов всегда выше, чем при их последовательном соединении. На практике это ценное свойство используется при создании надежного устрой­ства использованием ненадежных элементов. В качестве примера определим надежность изделия с па­раллельным соединением элементов при дублировании основного эле­мента А резервным элементом В. В этом случае вероятность того, что хотя бы один из них будет работать, равна сумме вероятностей трех возможных благоприятных исходов:

а) ни элемент А, ни элемент В не выйдут из строя;

б) элемент А выйдет из строя, но элемент В будет работать;

в) элемент В выйдет из строя, но элемент А будет работать.

Математически это выражается следующим образом: Р(АВ)=Р(А)Р(В)+Р(В)[1-Р(А)]+Р(А)[1--Р(В)]. В случае, если вероятность безотказной работы элементов равна 0,9, то надежность изделия будет равна: Р(АВ)=0,9×0,9+0,9(1-0,9)+0,9(1-0,9)=0,99.

В данном примере надежность изделия, состоящего всего лишь из двух параллельно включенных элементов, оказалась на 10 % выше надежности каждого элемента в отдельности и более чем на 20 % выше надежности изделия при последовательном соединении элементов.

Рассмотрим другой пример. Имеется восемь параллельно соединенных аппаратов. Надежность каждого равна 0,4. Требуется определить надежность всей установки:

=1-(1-0,4)⁸ =0,983.

Если в систему вводятся добавочные (дублирующие) элементы, включаемые параллельно основным, то в этом случае говорят о резервировании. На практике оно осуществляется в двух основных модификациях: общее (резервирование устройства в целом) и раздельное (резервирование по элементам и узлам). При этом возможно постоян­ное включение резервных элементов и узлов или же их включение способом замещения (замена отказавших элементов, узлов). В общем, резервирование конечно усложняет оборудование, удорожает его обслуживание, содержание, ремонт и поэтому не всегда экономически выгодно. Оно неприменимо, если к проектируемому оборудованию предъявляются требования минимальных размеров, веса и потребляемой мощности. Более подробно о резервировании в лекциях № 11-12.