Элементы основ теории вероятностей

План:

1. Основные термины и понятия.

2. Основные теоремы теории вероятностей.

3. Вывод основного уравнения надежности для невосстанавливаемых деталей.

1. Основные термины и понятия

Теоретическим базисом надежности и долговечности является теория вероятностей и математическая статистика. Методы теории вероятнос­тей позволяют исследовать закономерности отказов как массовых, случайных явлений. Однако они не дают возможности точно пред­сказать время возникновения отказа, поскольку оно представляет со­бой случайную величину. Кроме того, мы не можем определить точно, какой срок в состоянии проработать данное изделие, а спо­собны лишь оценить ту вероятность, с какой оно проработает время, не меньшее заданного числа Х. Математические законы теории вероятностей не являются беспред­метными абстракциями, лишенными физического содержания; они представляют собой математическое выражение реальных закономер­ностей, фактически существующих в массовых, случайных явлениях.

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Со­бытия разделяют на три группы.

Первую группу образуют досто­верные события. Достоверное событие обязательно произойдет, если будут выполнены вполне определенные условия. Причины достовер­ного события немногочисленны, очевидны и поддаются точному учету. Например, совершенно достоверным является факт работы ис­правного насоса, если к нему подключен исправный электромотор, к контактам которого приложено напряжение.

Вторая группа – невозможные события, т.е. такие, которые при определенных и известных условиях произойти не могут, поскольку отсутствуют причины для их возникновения. Эти причины можно полностью учесть и на основе их анализа сделать вывод о невоз­можности данного события. Например, если в электрической сети от­сутствует напряжение, то работа мотора, питающегося от сети, яв­ляется событием невозможным.

Третья группа – случайные события (вероятные). Они могут иметь множество причин, но нельзя заранее точно предсказать, возникнет ли такая совокупность причин, которая приведет к данному собы­тию.

Полной группой событий называется несколько таких событий, хотя бы одно из которых должно непременно произойти в резуль­тате опыта. Несколько событий в данном опыте называются несов­местными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Нес­колько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований, считать какое-либо из них более возможным, чем другое. Если несколько событий: 1) об­разуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможные, то они называются случаями. Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события. Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность события А, вычисляется по формуле

Р(А) = m/n, (1.1)

где n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятных со­бытию А.

Отказ и надежность (безотказная работа) — это основные, случайные события, изучаемые наукой о надежности.

Вероятность характеризует событие по степени его возможности. Вероятность есть численной мерой степени объективной возможности данного события. При этом вероятность достоверного события при­нята за единицу, а вероятность невозможного – за ноль. Тогда ве­роятность случайных событий лежит в пределах 0–1. В теории надежности типичным примером несовместных событий является отказ и безотказная работа какого-нибудь изделия.

Наряду с понятием случайного события важное, значение имеет понятие случайной величины. Случайной величиной называется ве­личина, которая в результате опыта может принять то или иное зна­чение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины делятся на дискретные (прерывные) и непрерывные. Дискретные, случайные величины могут принимать определенные числовые значе­ния, отделенные один от другого некоторыми промежутками. Непрерывные случайные величины могут принимать любые числовые значения, которые лежат в некотором промежутке. В те­ории надежности примером непрерывной случайной величины является случайное время безотказной работы, т. е. время от включения обо­рудования в работу до наступления отказа.