3. Базис булевих функцій. Теорема Поста

Перевіримо елементарні булеві функції, що входять до складу заданої, на утворення базису.

	Збереження 0,	Збереження 1,	Самодвоїстість, S	Монотонність, M	Лінійність, L
			+		+
	+	+		+
	+				+

В таблиці знаком «+» позначено належність функції до даного класу.

Для того щоб функції складали базис, за теоремою Поста необхідно щоб хоч одна функція не зберігала 0, щоб хоч одна функція не зберігала 1, щоб хоч одна функція не була самодвоїстою, щоб хоч одна функція не була монотонною і щоб хоч одна функція не була лінійною. З вищенаведеної таблиці очевидно, що даний набір функцій складає базис. Причому для базису достатньо перших двох функцій, тобто заперечення та диз’юнкції.

Перевіримо можливість отримання з заданої булевої функції fшляхом суперпозиції деяку булеву функцію. Для цього перевіримоfна приналежність класам Поста.

По таблиці істинності , отже.

, отже.

Побудуємо за таблицею істинності двоїсту функцію , значення якої можна отримати зі значень функціїfза допомогою інвертування (тобто переписування в зворотному порядку) та поелементного заперечення.

	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
f	1	1	1	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1
	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0

Виходячи з таблиці істинності , отже.

Розглянемо два набори і. Згідно лексикографічного порядку, але. Отже.

Степінь полінома Жегалкіна для заданої функції fдорівнює 3, тому.

Задана функція fналежить до функціонально повного у слабому значенні класу, тому що вона немонотонна і нелінійна. Тому додавання констант 0 і 1 у класдозволить отримати зfшляхом суперпозиції деяку булеву функцію.

4. Схемна реалізація функції методом каскадів

Поліном Жегалкіна для функції

.

Знайдемо оптимальний для методу каскадів порядок диз’юнктивного розкладення за змінними. Для цього обчислимо часткові похідні булевої функції за всіма змінними.

Для визначення ваги похідних побудуємо таблиці істинності.

0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0	0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0	0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Таким чином, . Тобто диз’юнктивне розкладення на етапах методу каскадів можна проводити по будь-яким змінним. Оберемо, наприклад, що на першому етапі розкладення проведемо за змінною, на другому – за змінною, на третьому – за змінною.

Проведемо диз’юнктивне розкладення функції за змінною.

Проведемо диз’юнктивне розкладення функцій іза змінною.

Побудуємо контактну схему (див. рис. 1).

Рисунок 1 – Схемна реалізація булевої функції методом каскадів

Таким чином, складність контактної схеми дорівнює кількості контактів у ній та складає .