МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУУКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»
Кафедра «Системний аналіз та управління»
Розрахункове завдання № 1 з дисципліни «Дискретна математика»
(Варіант Ю35)
Виконав:
студент групи ІФ-59Ю
ПетровП.П.
Перевірив:
доц., к.т.н. Марченко Н.А.
Харків 2012
Таблиці істинності функцій
Задано булеву функцію
.
Розглянемо таблиці істинності для
елементарних булевих функцій, що до неї
входять.
Заперечення, позначення
:
-
a
0
1
1
0
Диз’юнкція (логічне або), позначення
:
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
Сума замодулем2, позначення
:
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
Побудуємо таблицю істинності заданої функції.
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
f |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Нормальні форми та поліноми
Запишемо по таблиці істинності заданої функції досконалу диз’юнктивну нормальну форму (ДДНФ). Для цього розглянемо набори, де функція приймає значення 1. В результаті отримаємо
Запишемо по таблиці істинності заданої функції досконалу кон’юнктивну нормальну форму (ДКНФ). Для цього розглянемо набори, де функція приймає значення 0 і візьмемо кожен набір з запереченням. В результаті отримаємо
.
Побудуємо поліном Жегалкіна, розглянувши набори, де булева функція приймає значення 1, та скориставшись формулою
.
У формулі треба розкрити дужки та
спростити вирази за допомогою співвідношень
,
,
.
Для заданої функції отримаємо
Степінь полінома – 3.
Перевіримо правильність перетворень за допомогою таблиці істинності.
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
f |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Результат збігається з початковою таблицею істинності.
Всі три представлення булевої функції еквівалентні. Далі будемо розглядати булеву функцію у класі ДНФ та поліномів Жегалкіна.