2. Статично невизначувані системи при розтяганні − стисканні

1. Основні поняття та визначення

У практиці розрахунків при розтяганні − стисканні зустрічаються розрахункові схеми, для яких при відомих активних зовнішніх зусиллях рівнянь статичної рівноваги недостатньо для визначення реактивних зусиль і внутрішніх зусиль. Такі системи прийнято називати статично невизначуваними.

Статично невизначуваною називається кінематично незмінна система, у якої число невідомих зусиль, включаючи реакції опор та внутрішні сили, більше числа рівнянь статики, які можна скласти для даної системи чи її частини.

Різниця між кількістю невідомих зусиль та кількістю незалежних рівнянь статичної рівноваги, що можна записати для всієї системи або її частини, називається ступенем статичної невизначеності системи.

Це число показує скільки додаткових рівнянь у геометричному аналізі процесу деформування системи необхідно скласти, щоб можна було вирішити задачу. Розкриття статичної невизначуваності таких систем складається з чотирьох основних етапів.

Загальний план рішення таких задач полягає в наступному.

1. Статична сторона задачі (ССЗ). Визначаємо напрямок реакцій зв'язків, внутрішніх зусиль у стержнях, складаємо рівняння рівноваги, визначаємо ступінь статичної невизначуваності задачі.

2. Геометрична сторона задачі (ГСЗ). Установлюємо зв'язок між переміщеннями окремих перерізів конструкції, виходячи з умови спільності переміщень. Складаємо необхідну кількість рівнянь зв’язку між переміщеннями. Число таких рівність повинно дорівнювати ступеню статичної невизначуваності системи. Отримані рівняння називаються рівняннями спільності переміщень.

3. Фізична сторона задачі (ФСЗ). У рівняннях спільності переміщень для окремих елементів їхні переміщення виражаємо на підставі закону Гука через діючі в них невідомі зусилля.

4. Синтез. Вирішуємо отриману систему рівнянь щодо невідомих зусиль.

Розглянемо розрахунки статично невизначуваних задач при центральному розтяганні – стисканні на прикладах.

2. Жорстко закріплений стержень під дією зосередженої сили

Жорстко закріплений обома кінцями стержень площею поперечного перерізу навантажений силою (рис. 1.5). Модуль пружності матеріалу . Визначити опорні реакції та побудувати епюру поздовжніх сил.

Рисунок 1.5

1. ССЗ. Показуємо опорні реакції і. Записуємо єдину умову рівноваги, яку можна скласти для даної задачі

. (1.6)

Це рівняння має дві невідомі, тому ступінь статичної невизначеності дорівнює:

2. ГСЗ. Так як опори жорсткі, то повне подовження стержня дорівнює нулю, тобто . Один з підходів реалізації цієї умови такий. Відкидаємо одну з опор та послідовно прикладаємо зовнішні сили і невідому реакцію у відкинутій опорі. Повне подовження стержня зобразиться як сума подовжень від зовнішнього навантаження− () і реакції:

.

3. ФСЗ. Подовження від зовнішнього зусилля у розглянутому випадку складає: , укорочення від реакції:.

4. Синтез. Повна деформація стержня виявляється рівною:

(1.7)

З рівняння (1.7) одержуємо , а з рівняння (1.6) випливає:. Розбиваємо стержень на дві ділянки та записуємо значення поздовжньої сили на кожній ділянці:

1^а ділянка: 0  z₁ b : ;

2^а ділянка: 0  z₂ a : .

По отриманим рівнянням будуємо епюру поздовжніх сил.