1.1.3. Метод сеток

Метод сеток или метод конечных разностей является наиболее распространенным и эффективным методом численного решения для уравнений математической физики. Сущность ero состоит в следующем. Область D непрерывного изменения аргументов в исходной задаче заменяется конечным дискретным множеством точек D_n, называемых сеткой. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальное уравнение в частных производных заменяется конечно-разностным уравнением. При этом производные искомой функции в выбранных узлах сетки заменяются разделенными разностями в соответствии с формулами (1.5), (1.8) и (1.10). Начальные и граничные условия заменяются разностными начальными и граничными условиями. Полученную таким образом систему конечно-разностных (алгебраических) уравнений решаем каким-либо методом и определяем значения искомой функции в узлах сетки, т. е. численное решение исходной задачи.

Сетка может быть Построена по-разному с учетом конкретных условий решаемой задачи. На плоскости наиболее часто применяют прямоугольные сетки. Прямоугольная сетка образуется системой прямых:

x_i=x₀+ih, y_k=y₀+kl (i, k = 0, l, 2, …).

Постоянные положительные числа h и l называются шагом сетки по оси Ох и Оу соответственно. Точки (х_i, у_k) пересечения прямых называются узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Узел сетки называется внутренним, если все его четыре соседних узла принадлежат области D.

Погрешность, получаемая в методе сеток, состоит из погрешности замены дифференциального уравнения разностным уравнением, погрешности приближенного решения системы разностных уравнений. Разностная задача должна обладать свойствами устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малым изменениям начальных условий соответствуют малые изменения решения разностной задачи. Сходимость схемы означает, что если неограниченно измельчать сетку, то последовательность решений, полученных методом сеток, будет сходиться равномерно к точному решению краевой задачи.

Понятия устойчивости и сходимости метода сеток в случае линейных дифференциальных уравнений второго порядка даны в гл. … . В случае дифференциальных уравнений в частных производных действительна теорема:

Если разностная схема аппроксимирует задачу с порядком р>0 относительно h и l и устойчива, тогда эта схема будет сходящейся и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации.

1.2. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом сеток

1.2.1. Постановка задачи

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности. Задача состоит в отыскании функции и(х, t), удовлетворяющей в области D = {(х, t)| 0 ≤ х ≤ L, 0 ≤ t ≤ Т)} уравнению

(1.12)

н

(1.13)

ачальному условию

и

(1.14)

граничным условиям

Краевые условия (1.13), (1.14) относятся к типу краевых условий первого рода.

Задача (1.12) – (1.14) называется смешанной, поскольку она содержит как начальное, так и граничные условия.

Будем считать, что задача (1.12) – (1.14) имеет единственное решение и(х, t), непрерывное вместе со своими производными

Построим в области D={(x, t)| 0≤x≤L, 0≤t≤T} прямоугольную равномерную сетку с шагом h в направлении х и шагом τ – в направлении t.

Обозначим узлы сетки через (x_i, t_k), i = 0, n, k = 0, m, a приближенные значения функции и(x_i, t_k) в этих узлах – через u_ik. Тогда x_i =ih, h=L/n, t_k = kτ, τ =t/m.