6. Соударения молекул. Средняя длина свободного пробега

Молекулы идеального газа обладают в среднем очень высокими скоростями, однако процессы переноса массы, теплоты и др. протекают медленно. Так, молекула в среднем проходит 1 м за 0,002 с, но при диффузии распространение молекул вещества на такое расстояние происходит за десятки секунд. Причиной этого являются соударения молекул.

Для характеристики процесса соударения вводят понятие эффективной площади поперечного сечения (эффективного сечения). Если представлять молекулы А и Б в виде шариков диаметром d (Рис. 2 .5), то изменение траектории молекул при взаимодействии будет наблюдаться, если минимальное расстояние между шариками равно d (при соприкосновении). Падающая частица А (Рис. 2 .5) считается точечной. Тогда частица-мишень Б будет обладать таким сечением , при попадании внутрь которого прицельного направления падающей частицы А наблюдается заметное отклонение траектории этой частицы. Это сечение называется эффективным. Его диаметр равен 2d, а площадь  = d². Диаметр d называется эффективным диаметром.

Рис. 2.5 Эффективный диаметр частицы при соударении

Молекулы между соударениями не взаимодействуют, поэтому движутся прямолинейно. Расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями, называется длиной свободного пробега. Длину свободного пробега можно найти, разделив путь, пройденный за какое-то время, на число соударений за это время. Поскольку для молекул газа известны лишь средние величины, характеризующие движение, можно определить среднюю длину свободного пробега:

.

2.15

где – среднеарифметическая скорость;

– среднее число соударений в единицу времени.

Для нахождения числа соударений представим вначале, что все молекулы покоятся, кроме одной. Эта единственная движущаяся молекула (А – на рис. 2.6) будет сталкиваться со всеми другими, которые окажутся на ее пути. Представим, что движущаяся молекула

Рис. 2.6 К определению числа соударений молекул

обладает эффективным сечением , а другие являются точечными. Молекула А будет сталкиваться со всеми молекулами, центры которых окажутся внутри цилиндра с основанием  . За время t число столкновений будет таким, сколько молекул находится в цилиндре высотой , где – средняя относительная скорость молекулы А относительно других молекул:

.

2.16

Конечно, после каждого соударения скорость частицы А изменяется, и цилиндр будет не прямым, а ломаным, но погрешность будет невелика, так как длина свободного пробега много больше эффективного диаметра молекулы.

Расчет показывает, что при максвелловском распределении скоростей , следовательно . Тогда

2.17

При нормальных условиях длина свободного пробега молекул азота (d=3,810^-10м) составляет 0,610^-7м, т. е. почти в 500 раз больше диаметра молекулы.

7. Явления переноса

Система, состоящая из большого числа частиц, первоначально находившаяся в неравновесном состоянии (различные в разных частях объема значения плотности, температуры и др.), вследствие хаотического движения молекул самопроизвольно переходит в равновесное состояние. Процессы, связанные со стремлением системы достигнуть равновесного состояния, называются процессами, или явлениями переноса. Время перехода от неравновесного состояния к равновесному называют временем релаксации.

Диффузия – процесс переноса компонент вещества в таких направлениях, чтобы сделать плотность каждой из компонент постоянной по всему объему тела. Если имеется один газ с неодинаковой концентрацией, то процесс называется самодиффузией.

Рис. 2.7 К определению понятия диффузия

Если неравномерность концентрации существует только в одном направлении z (Рис. 2 .7), то перенос массы вещества описывается уравнением Фика:

.

2.18

Масса вещества, переносимого за время t через площадку S, расположенную перпендикулярно направлению наибольшего изменения плотности, пропорциональна градиенту плотности /z. Коэффициент пропорциональности D называют коэффициентом диффузии. Знак (–) означает, что перенос вещества происходит в направлении, противоположном направлению возрастания плотности. Из кинетической теории газов следует:

.

2.19

Вязкость – явление возникновения трения в газах и жидкостях в процессе обмена импульсом упорядоченного движения между различными слоями.

Рис. 2.8 К определению понятия вязкости

При ламинарном движении слоев скорость упорядоченного движения изменяется от слоя к слою (Рис. 2 .8). Вследствие хаотического движения молекулы из верхнего слоя, обладающие в среднем большим импульсом упорядоченного движения, переходя в нижний слой, будут передавать молекулам этого слоя дополнительный импульс и тем самым увеличивать скорость упорядоченного движения. И наоборот, молекулы из нижнего слоя, обладающие меньшим импульсом упорядоченного движения, переходя в верхний слой, будут тормозить его движение.

Изменение импульса слоя равно:

,

2.20

где  – коэффициент вязкости.

Поскольку изменение импульса равно импульсу силы , получаем выражение для силы трения (формулу Ньютона):

.

2.21

Для коэффициента вязкости кинетическая теория газов дает следующее выражение:

.

2.22

Теплопроводность – движение теплоты в таких направлениях, чтобы сделать температуру всех частей системы одинаковой. Перенос теплоты описывается уравнением Фурье:

.

2.23

Количество теплоты, переносимое через площадку S, расположенную перпендикулярно направлению наибыстрейшего изменения температуры, пропорционально градиенту температуры T/z. Коэффициент пропорциональности  называют коэффициентом теплопроводности.