3. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)

Умножив левую и правую части уравнения ( 2 .4) на объем газа V, получим выражение

2.6

,

где N=n₀V- полное число молекул.

Это уравнение связывает три величины: давление газа, его объем и температуру, поэтому его называют уравнением состояния.

Число молекул можно записать как N=N_A, – произведение числа молей газа  на число молекул в одном моле N_A (число Авогадро). Тогда

.

Произведение констант N_Ak также является константой. Ее называют газовой постоянной (иногда молярной постоянной):

R=N_Ak=8.31 Дж/(мольК).

Уравнение состояния принимает вид:

.

Наконец, число молей  можно выразить через массу газа m и молярную массу (массу одного моля) M:  = m/M. Окончательно имеем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева- Клапейрона):

.

2.7

Физический смысл газовой постоянной может быть определен через работу, совершаемую газом в процессе расширения при постоянном давлении. Для этого процесса уравнение состояния можно записать в виде: , откуда . Поскольку произведение равно совершаемой работе, газовая постоянная численно равна работе при изобарном расширении одного моля идеального газа при нагревании его на 1 К.

4. Изотермический, изохорный и изобарный процессы

Термодинамические процессы, протекающие при неизменном значении одного из параметров, называются изопроцессами. Из уравнения состояния для одного моля газа получаем:

Изотермический процесс

(Т=const) – ,

2.8

– закон Бойля-Мариотта. Для данной массы газа при неизменной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная (Рис. 2 .1).

Рис. 2.1 Изотермический процесс

Изобарный процесс

(p = const) –

2.9

– закон Гей-Люссака. Объем данной массы газа при неизменном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре (Рис. 2 .2).

Рис. 2.2 Изобарный процесс

Изохорный процесс

(V=const) –

2.10

– закон Шарля. Давление данной массы газа при неизменном объеме прямо пропорционально температуре (Рис. 2 .3).

Рис. 2.3 Изохорный процесс

Опыт показывает, что реальные газы при высоких давлениях (сотни атмосфер) и при низких температурах не подчиняются законам идеального газа. Штриховыми линиями на Рис. 2 .2 и Рис. 2 .3 показаны области, где эти законы не выполняются.

5. Скорость молекул газа. Распределение Максвелла

С молекулярной точки зрения физические величины – давление, плотность, температура имеют смысл средних значений. Они подчиняются определенным закономерностям, не свойственным отдельным атомам и молекулам, что связано с колоссальным количеством частиц, из которых состоят макротела. Такие закономерности называются статистическими.

При полной хаотичности движение молекул подчиняется определенным законам. В состоянии равновесия газа, как целого, все направления скоростей молекул равновероятны, а абсолютные значения скоростей принимают всевозможные значения. Задача о распределении молекул по скоростям была решена Максвеллом. Им было установлено, что доля всех молекул dN/N в объеме газа, обладающих скоростями в диапазоне от некоторой до является функцией скорости :

2.11

и пропорциональна величине интервала скоростей :

.

2.12

Чем уже интервал скоростей, тем меньшая часть молекул имеет скорости, попадающие в данный интервал. На Рис. 2 .4 приведен вид функции распределения Максвелла для двух значений температуры. Площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна и определяет в соответствии с ( 2 .12) долю всех молекул, обладающих скоростями в интервале от до . Поскольку все молекулы обладают какой либо скоростью в интервале от 0 до  (их доля равна единице), полная площадь фигуры под графиком функции равна единице. Отсюда следует условие нормировки:

.

Рис. 2.4 Распределение Максвелла

Функция распределения Максвелла имеет максимум при скорости , называемой наивероятнейшей:

.

2.13

Наивероятнейшая скорость меньше среднеквадратичной.

Распределение молекул характеризуется также среднеарифметической скоростью:

.

2.14

Значения скоростей молекул были измерены в опытах Штерна и оказались близкими к значениям, предсказанным теорией.