Лабораторна робота № 5 Прямі методи знаходження власних значень і векторів

Метою роботи є закріплення знань студентів по прямим методам знаходження власних значень і векторів матриць.

Постановка завдання

1. Додати метод, що дозволяє обчислити коефіцієнти характеристичного полінома матриці за методом Д.К. Фадеєва та її обернену матрицю.

2. Додати метод, що дозволяє обчислити коефіцієнти характеристичного полінома матриці за методом А.М. Данилевського.

3. Додати метод, що дозволяє по відомому характеристичному поліному знайти його корені, тобто власні значення матриці.

Для локалізації власних значень скористатися умовою . Таким чином, всі власні значення будуть належати проміжку . Як метод знаходження коренів полінома можна обрати, наприклад, метод хорд.

Алгоритм методу хорд.

Якщо знайдено інтервал локалізації кореня рівняння , на кінцях якого функція приймає значення з різними знаками, тобто , то чергове наближення буде у точці , де перетинає вісь абсцис пряма, що проведена через точки і .

Як новий інтервал для продовження ітераційного процесу обирається той з двох або , на кінцях якого функція має значення з різними знаками, тобто один з кінців початкового інтервалу фіксується. Позначимо його через .

Таким чином, для визначення точки перетину на -у кроці справедлива формула:

.

Процес уточнення кореня закінчується, коли відстань між черговими наближеннями стане меншою заданої точності ε, тобто коли , або коли значення функції попадуть у область шуму, тобто .

Методом хорд можна також шукати початкове наближення до кореня. У цьому випадку фіксується один з кінців інтервалу, наприклад, точка a, і через точки а і проводиться хорда. Причому в даному випадку функція в точках а і може мати однакові знаки. Далі шукається точка перетину з віссю абсцис

.

Після цього розглядається новий інтервал і процес повторюється до тих пір, поки . Точка с у даному випадку і буде коренем рівняння.

Після знаходження будь-якого кореня характеристичного полінома для обчислення інших коренів треба перейти від початкового полінома до полінома з коефіцієнтами , де с – знайдений корінь. Для цього можна використати схему Горнера:

4. Додати метод, що дозволяє обчислити власні вектори матриці за методом А.М. Данилевського.